Stereometria

XV OM - III - Zadanie 6

Dany jest ostrosłup SABCD, którego podstawą jest czworokąt wypukły $ ABCD $ o prostopadłych przekątnych $ AC $ i $ BD $, a rzutem prostokątnym wierzchołka 8 na podstawę jest punkt 0 przecięcia przekątnych podstawy. Udowodnić, że rzuty prostokątne punktu O na ściany boczne ostrosłupa leżą na okręgu.

XV OM - III - Zadanie 3

Dany jest czworościan $ ABCD $, którego krawędzie $ AB, BC, CD, DA $ są styczne do pewnej kuli: Dowieść, że punkty styczności leżą w jednej płaszczyźnie.

XV OM - II - Zadanie 5

Dany jest kąt trójścienny o krawędziach $ SA $, $ SB $, $ SC $, którego wszystkie kąty płaskie są ostre, a kąt dwuścienny przy krawędzi $ SA $ jest prosty. Dowieść, że przekrój tego trójścianu dowolną płaszczyzną prostopadłą do którejkolwiek krawędzi, w punkcie różnym od wierzchołka $ S $, jest trójkątem prostokątnym.

XV OM - I - Zadanie 12

Czworościan $ ABCD $ rozcięto na dwie części płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek $ D $, przez punkt $ M $ krawędzi $ AB $ i przez punkt $ N $ krawędzi $ BC $. Dowieść, że pole trójkąta $ DMN $ jest mniejsze pola któregoś z trójkątów $ DAB $, $ DBC $, $ DCA $.

XV OM - I - Zadanie 8

Na trzech parami skośnych krawędziach sześcianu obrać po jednym punkcie w taki sposób, żeby suma kwadratów boków utworzonego przez nie trójkąta była najmniejsza.

XVI OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że nie istnieje wielościan, którego każdy przekrój płaski jest trójkątem.

XVI OM - I - Zadanie 12

W przestrzeni dane są dwa wielościany. Dowieść, że najdłuższy z odcinków łączących punkty jednego wielościanu z punktami drugiego ma końce w wierzchołkach wielościanów.

XVI OM - I - Zadanie 8

Na krawędziach bocznych graniastosłupa o podstawie trójkątnej $ ABC $ odmierzono odcinki $ AA_1 = p_1 $, $ BB_1 = p_2 $, $ CC_1 = p_3 $. Prosta równoległa do krawędzi bocznych przecina podstawę $ ABC $ w punkcie $ D $, a płaszczyznę $ A_1B_1C_1 $ w punkcie $ D_1 $ Dowieść, że

\[<br /> DD_1 = \frac{p_1S_1 + p_2S_2 + p_3S_3}{S_1+S_2+S_3}<br /> \]

gdzie $ S_1, S_2, S_3 $ oznaczają odpowiednio pola trójkątów $ BCD $, $ CAD $, $ ABD $.

XVI OM - I - Zadanie 3

Przez każdą krawędź kąta trójściennego poprowadzono płaszczyznę zawierającą dwusieczną przeciwległego kąta płaskiego. Dowieść, że poprowadzone trzy płaszczyzny przechodzą przez jedną prostą.

XVII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić, że suma kwadratów pól prostokątnych rzutów ścian prostopadłościanu na jedną płaszczyznę nie zależy od położenia tej płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy prostopadłościan jest sześcianem.

Subskrybuje zawartość