Wielomiany

XIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli wielomian $ F(x) $ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek $ \frac{p}{q} $, gdzie $ p $ i $ q $ są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, to $ p - q $ jest dzielnikiem liczby $ F(1) $, a $ p + q $ jest dzielnikiem liczby $ F(-1) $.

XX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $ a, b, c $, spełniają warunek

\[<br /> (1) \qquad \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} = 0,<br /> \]

gdzie $ m $ oznacza liczbę dodatnią, to równanie

\[<br /> (2) ax^2 + bx + c = 0<br /> \]

ma pierwiastek zawarty między 0 i 1.

XXI OM - III -Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą $ A $ taką, że dla każdego trójmianu kwadratowego $ f(x) $ spełniającego warunek

\[<br /> (1) \qquad |f(x)| \leq 1 \quad \text{dla}\quad 0 \leq x \leq 1<br /> \]

zachodzi nierówność $ f'(0) \leq A $.

XXI OM - II -Zadanie 5

Dany jest wielomian $ P(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2 $. Niech $ Q(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k $ będzie wielomianem określonym wzorem

\[<br /> Q(x) = P(x) \cdot P(x^3) \cdot P(x^9) \cdot P(x^{27}) \cdot P(x^{81}).<br /> \]

Obliczyć $ \sum_{k=0}^m |b_k| $.

XXIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieje taki wielomian $ P(x) $ o współczynnikach całkowitych, że dla wszystkich $ x $ z przedziału $ \langle \frac{1}{10}, \frac{9}{10}\rangle $ zachodzi nierówność

\[<br /> \left| P(x) - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{1000}<br /> \]

XXIII OM - I - Zadanie 5

Ciąg wielomianów $ P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots $ jest określony wzorami $ P_0(x) = 2 $, $ P_1(x) = x $,

\[<br /> (1)\qquad P_{n+1}(x) = x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x) \quad (n=1, 2, \ldots).<br /> \]

Wykazać istnienie takich liczb rzeczywistych $ a, b, c $, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> (2)\qquad (x^2 - 4) (P_n^2(x) - 4) = (a \cdot P_{n+1}(x) + b \cdot P_n(x) + c \cdot P_{n-1}(x))^2.<br /> \]

XXIV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że każdy wielomian jest różnicą dwóch wielomianów rosnących.

XXIV OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ m $ istnieje taki wielomian w o współczynnikach całkowitych, że $ 2^m $ jest największym wspólnym dzielnikiem liczb

\[<br /> a_n = 3^n + w(n), n = 0, 1, 2, \ldots .<br /> \]

XXIV OM - I - Zadanie 8

Znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych najniższego możliwego stopnia, którego pierwiastkiem jest $ \sqrt{2} + \sqrt{3} $.

XXV OM - III - Zadanie 3

Niech $ r $ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że trójmian $ x^2 - rx - 1 $ nie jest dzielnikiem żadnego wielomianu $ p(x) \neq 0 $ o współczynnikach całkowitych, mniejszych co do wartości bezwzględnej od $ r $.

Subskrybuje zawartość