Olimpiada Matematyczna

III OM - I - Zadanie 8

W trójkącie $ABC$ na boku $BC$ leży punkt $M$ , na boku $AC$ leży punkt $N$ , a odcinki $AM$ i $BN$ przecinają się w punkcie $P$ . Mając dane stosunki

$ BM \colon MC = m \textrm{ i } AN \colon NC = n $

obliczyć stosunki $AP \colon PM$ i $BP \colon PN$ .

Niech $a$ , $b$ oznaczają przyprostokątne trójkąta prostokątnego, $c$ - jego przeciwprostokątną, $r$ - promień koła wpisanego, wreszcie $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ - promienie kół dopisanych tego trójkąta. Dowieść, że:

1) $r + r_a + r_b = r_c$

2) promienie $r$ , $r_a$ , $r_b$ , $r_c$ wyrażają się jednocześnie liczbami całkowitymi wtedy i tylko wtedy, gdy boki $a$ , $b$ , $c$ są wyrażone liczbami całkowitymi.

III OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli $u \geq 0$ , $v \geq 0$ , $w \geq 0$ , to zachodzi nierówność

$ (1) \qquad u^3 + v^3 + w^3 \geq 3uvw. $

III OM - I - Zadanie 5

Dowieść, ze wielomian

$ x^{44} + x^{33} + x^{22} + x^{11} + 1 $

jest podzielny przez wielomian $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ .

III OM - I - Zadanie 4

a) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ nie leżące na prostej. Wyznaczyć takie trzy proste wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , żeby odstępy między sąsiednimi prostymi równoległymi były równe.

b) Dane są punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ nie leżące na płaszczyźnie. Wyznaczyć takie cztery płaszczyzny wzajemnie równoległe i przechodzące odpowiednio przez punkty $A$ , $B$ , $C$ , $D$ , żeby odstępy między sąsiednimi płaszczyznami równoległymi były równe.

III OM - I - Zadanie 3

Wykazać, że jeżeli

$ (1) \qquad \frac{a-b}{1+ab} + \frac{b-c}{1+bc} + \frac{c-a}{1+ca} = 0, $

to co najmniej dwie spośród liczb $a$ , $b$ , $c$ są równe.

III OM - I - Zadanie 2

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{l} x^2 + y^2 + z^2 = 19^2\\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0\\ x - y + z = 11. \end{array} \right. $

III OM - I - Zadanie 1

Do dwóch okręgów poprowadzono wspólną styczną wewnętrzną oraz obie wspólne styczne zewnętrzne. Dowieść, że odcinek stycznej wewnętrznej zawarty między stycznymi zewnętrznymi jest równy odcinkowi stycznej zewnętrznej zawartemu między jej punktami styczności.

IV OM - III - Zadanie 6

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $\alpha$ , $\beta$ i $\gamma$ , gdy spełniona jest równość

$ (1) \qquad \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma? $

IV OM - III - Zadanie 5

Z punktu $O$ wyrusza po prostoliniowej szosie samochód i jedzie ze stałą prędkością $v$ . Do samochodu tego pragnie podać list rowerzysta, który znajduje się w odległości $a$ od punktu $O$ i w odległości $b$ od szosy. Z jaką minimalną prędkością powinien jechać rowerzysta, aby osiągnąć swój cel?

Olimpiady Matematyczne