2000-2009

LII OM - I - Zadanie 7

Dany jest trójkąt równoramienny $ ABC $ o kącie prostym przy wierzchołku $ A $. Punkty $ D $ i $ E $ leżą na przeciwprostokątnej $ BC $, przy czym $ \measuredangle DAE = 45^\circ $. Okrąg opisany na trójkącie $ ADE $ przecina boki $ AB $ i $ AC $ odpowiednio w punktach $ P $ i $ Q $. Dowieść, że $ BP + CQ = PQ $.

LII OM - I - Zadanie 6

Liczby całkowite $ a $, $ b $, $ x $, $ y $ spełniają równanie

\[<br /> a+b\sqrt{2001}=(x+y\sqrt{2001})^{2000}<br /> \]

Udowodnić, że $ a \geq 44b $.

LII OM - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $ n \geq 2 $ i dowolnej liczby pierwszej $ p $ liczba $ n^{p^p} + p^p $ jest złożona.

LII OM - I - Zadanie 4

Rozstrzygnąć, czy w sześciennym pudełku o krawędzi 4 można umieścić 65 kul o średnicy 1.

LII OM - I - Zadanie 3

Znaleźć wszystkie takie liczby naturalne $ n \geq 2 $, że nierówność

\[<br /> (1) \qquad x_1x_2+x_2x_3+\ldots+x_{n-1}x_{n}\leq\frac{n-1}{n}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\ldots+x_{n}^{2})<br /> \]

zachodzi dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich $ x_1,x_2,\ldots,x_n $.

LII OM - I - Zadanie 2

Punkty $ D $ i $ E $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $ trójkąta $ ABC $. Odcinki $ AD $ i $ BE $ przecinają się w punkcie $ P $. Punkty $ K $ i $ L $ leżą odpowiednio na bokach $ BC $ i $ AC $, przy czym czworokąt $ CLPK $ jest równoległobokiem. Dowieść, że

\[<br /> \frac{AE}{EL}=\frac{BD}{DK}.<br /> \]

LIII OM - III - Zadanie 6

Dana jest liczba naturalna $ k $. Określamy ciąg $ (a_n) $ wzorami

\[<br /> a_{1}=k+1,\ a_{n+1}=a_{n}^{2}-ka_{n}+k\ \textrm{dla}\ n\geq 1.\]

Wykazać, że jeżeli $ m \ne n $, to liczby $ a_m $ i $ a_n $ są względnie pierwsze.

LIII OM - III - Zadanie 5

W przestrzeni dany jest trójkąt $ ABC $ oraz sfera $ s $ rozłączna z płaszczyzną $ ABC $. Przez każdy z punktów $ A $, $ B $, $ C $ poprowadzono prostą styczną do tej sfery. Punkty styczności oznaczono odpowiednio $ K $, $ L $, $ M $. Punkt $ P $ leży na sferze $ s $ i spełnia warunki

\[<br /> \frac{AK}{AP}=\frac{BL}{BP}=\frac{CM}{CP}.<br /> \]

Udowodnić, że sfera opisana na czworościanie $ ABCP $ jest styczna do sfery $ s $.

LIII OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n \geq 3 $ i dla każdego ciągu liczb dodatnich $ x_1,x_2,\ldots,x_n $ zachodzi co najmniej jedna z nierówności

\[<br /> \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}\geq\frac{n}{2},\ \sum_{i=1}^{n}\frac{x_{i}}{x_{i-1}+x_{i-2}}\geq\frac{n}{2}<br /> \]

(przyjmujemy $ x_{n+1}=x_{1},\ x_{n+2}=x_{2} $ oraz $ x_{0}=x_{n},\ x_{-1}=x_{n-1} $).

LIII OM - III - Zadanie 3

Na tablicy są napisane trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby $ k $, $ m $ i zastępujemy je liczbami $ k + m $ i $ |k - m| $, a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych, kontynuując to postępowanie, można otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

Subskrybuje zawartość