1990-1999

XLII OM - I - Zadanie 8

Wyznaczyć największą liczbę naturalną $n$ , dla której istnieje w przestrzeni $n+1$ wielościanów $W_0, W_1, \ldots, W_n$ o następujących własnościach:

(l) $W_0$ jest wielościanem wypukłym mającym środek symetrii,

(2) każdy z Wielościanów $W_i$ ( $i = 1,\ldots, n$ ) powstaje z $W_0$ przez przesunięcie,

(3) każdy z wielościanów $W_i$ ( $i = 1,\ldots, n$ ) ma punkt wspólny z $W_0$ ,

(4) wielościany $W_0, W_1, \ldots, W_n$ mają wnętrza parami rozłączne.

XLII OM - I - Zadanie 7

Dane są liczby rzeczywiste dodatnie $a$ , $b$ . Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych dodatnich $x$ , $y$ spełniające równanie

$ \frac{27xy}{(1+2ax)(1+2by)} = \frac{1}{ab} + \frac{x}{a} + \frac{y}{b} $

XLII OM - I - Zadanie 6

Trójkąt $ABC$ jest równoramienny, $\measuredangle BAC| = 100^{\circ}$ , dwusieczna kąta $ABC$ przecina bok $AC$ w punkcie $D$ . Dowieść, że

$ |AD| + |DB| = |BC|. $

XLII OM - I - Zadanie 5

Dany jest odcinek $AD$ . Znaleźć na nim takie punkty $B$ i $C$ , by iloczyn długości odcinków $AB$ , $AC$ , $AD$ , $BC$ , $BD$ , $CD$ był maksymalny.

XLII OM - I - Zadanie 4

Obliczyć granicę

$ \lim_{n\to \infty} \sqrt[3n]{\sum_{k=0}^n \binom{3n}{3k}} $

XLII OM - I - Zadanie 3

Liczby rzeczywiste $a$ , $x$ , $y$ , $z$ spełniają równość

$ \frac{\cos x + \cos y + \cos z}{\cos(x+y+z)} = \frac{\sin x + \sin y + \sin z}{\sin(x+y+z)} = a $

Wykazać, że

$ \cos(y+z)+\cos(z+x)+\cos(x+y) = a $

XLII OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste $x$ spełniające nierówność

$ 2\left| x - |x + |x-1|| \right| > \left x + |x - |x+1|| \right|. $

Na brzegu jeziora w kształcie koła znajdują się cztery przystanie $K$ , $L$ , $P$ , $Q$ . Z przystani $K$ wypływa kajak kierując się do przystani $Q$ , a z przystani $L$ wypływa łódka kierując się do przystani $P$ . Wiadomo, że gdyby zachowując swe prędkości kajak popłynął w kierunku przystani $P$ , a łódka w kierunku przystani $Q$ , to doszłoby do zderzenia. Dowieść, że kajak i łódka dobiją do celu w tym samym czasie.

Czytaj dalej

XLIII OM - III - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej $k$ liczba $(k!)^{k^2+k+1}$ jest dzielnikiem liczby $(k^3)!$ .

XLIII OM - III - Zadanie 5

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest $2n$ -kąt foremny $A_1, A_2, \ldots, A_n$ . Sfera przechodząca przez wierzchołek $S$ , ostrosłupa pezecina krawędzie boczne $SA_i$ w punktach $B_i$ ( $i = 1,2,\ldots, 2n$ ). Udowodnić, że