Planimetria

LIX OM - III -Zadanie 3

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ , w którym $BC = DE$ , zachodzą równości

$ \measuredangle ABE = \measuredangle CAB = \measuredangle AED - 90^{\circ} \text{ oraz }\measuredangle ACB = \measuredangle ADE. $

Dowieść, że czworokąt $BCDE$ jest równoległobokiem.

LIX OM - II -Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AC = BC$ . Punkt $D$ leży na boku $AB$ tego trójkąta, przy czym $AD < BD$ . Punkt
$E$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $CD$ . Wykazać, że

$ \frac{AC}{CD} = \frac{BE}{BD-AD} $

LIX OM - II -Zadanie 2

W pięciokącie wypukłym $ABCDE$ spełnione są zależności

$ \measuredangle ABD &= \measuredangle ACE,& \measuredangle ACB &= \measuredangle ACD, \\ \measuredangle ADC &= \measuredangle ADE,& \measuredangle ADB &= \measuredangle AEC. $

Odcinki $BD$ i $CE$ przecinają się w punkcie $S$ . Dowieść, że proste $AS$ i $CD$ są prostopadłe.

LIX OM - I -Zadanie 11

Punkty $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6, P_7$ leżą odpowiednio na bokach $BC, CA, AB, BC, CA, AB, BC$
trójkąta $ABC$ , przy czym spełnione są równości

$ \measuredangle P_1P_2C =\measuredangle AP_2P_3 =\measuredangle P_3P_4B =\measuredangle CP_4P_5 =\measuredangle P_5P_6A=\measuredangle BP_6P_7 =60^{\circ}. $

Dowieść, że $P_1 = P_7$ .

Dany jest kąt wypukły o wierzchołku $P$ i punkt $A$ leżący wewnątrz tego kąta. Punkty $X$ i $Y$ leżą na różnych
ramionach tego kąta, przy czym $PX = PY$ oraz wartość sumy $AX +AY$ jest najmniejsza. Wykazać, że
$\measuredangle XAP = \measuredangle YAP$ .

LX OM - III - Zadanie 1

Każdy z wierzchołków sześciokąta wypukłego jest środkiem koła o promieniu równym
długości nie dłuższego z boków sześciokąta zawierających ten wierzchołek. Udowodnić,
że jeśli część wspólna wszystkich sześciu kół (rozważanych wraz z brzegiem) jest
niepusta, to sześciokąt jest foremny.

LX OM - II - Zadanie 4

Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu o opisanego na czworokącie wypukłym $ABCD$ , którego przekątne
przecinają się w punkcie $E$ . Proste styczne do okręgu o w punktach $C$ i $D$ przecinają się w punkcie
$P$ .

Udowodnić, że $PC = PE$ .

LX OM - II - Zadanie 3

Rozłączne okręgi $o_1$ i $o_2$ o środkach odpowiednio $I_1$ i $I_2$ są styczne do prostej
$k$ odpowiednio w punktach $A_1$ i $A_2$ oraz leżą po tej samej jej stronie. Punkt $C$ leży na odcinku
$I_1I_2$ , przy czym $\meqsuredangle A_1CA_2 =90^{\circ}$ . Dla $i=1,2$ niech $B_i$ będzie punktem różnym od
$A_i$ , w którym prosta $A_iC$ przecina okrąg $o_i$ . Dowieść, że prosta $B_1B_2$ jest styczna do okręgów
$o_1$ i $o_2$ .

LX OM - I - Zadanie 10

Punkt $P$ jest środkiem krótszego łuku $BC$ okręgu opisanego na
trój kącie $ABC$ , w którym $\measuredangle BAC =60^{\circ}$ . Punkt $M$ jest środkiem
odcinka łączącego środki dwóch okręgów dopisanych do danego trójkąta,
stycznych odpowiednio do boków $AB$ i $AC$ . Wykazać, że $PM =2\cdot BP$

(Uwaga: Okrąg dopisany do trójkąta to okrąg styczny do jednego
z boków trójkąta oraz do przedłużeń dwóch pozostałych boków.)

LX OM - I - Zadanie 6

Dany jest trójkąt $ABC$ , w którym $AB = AC$ . Na półprostych
$AB$ i $AC$ obrano odpowiednio takie punkty $K$ i $L$ leżące poza bokami
trójkąta, że

$ (1)\qquad 4\cdot BK \cdot CL = BC^2. $

Punkt $M$ jest środkiem boku $BC$ . Proste $KM$ i $LM$ przecinają
po raz drugi okrąg opisany na trójkącie $AKL$ odpowiednio
w punktach $P$ i $Q$ . Wykazać, że proste $PQ$ i $BC$ są równoległe.