Olimpiada Matematyczna

XVIII OM - I - Zadanie 8

Dana jest kula $k$ , okrąg $c$ leżący na jej powierzchni oraz taki punkt $S$ nie leżący na tej powierzchni, że każda prosta przechodząca przez $S$ i przez jakiś punkt $M$ okręgu $c$ przecina powierzchnię kuli $k$ jeszcze w pewnym punkcie $N$ różnym od $M$ . Udowodnić, że zbiór $Z$ wszystkich punktów $N$ tworzy okrąg.

XVIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie leży $2n$ punktów. Dowieść, że istnieje prosta nie przechodząca przez żaden z tych punktów i dzieląca płaszczyznę na półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ spośród danych punktów. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla przestrzeni.

XVIII OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ \begin{split} a^2 + b^2 &= cd,\\ c^2 + d^2 &= ab \end{split} $

to

$ a = b = c = d = 0. $

XVIII OM - I - Zadanie 5

Znaleźć takie liczby naturalne $p$ i $q$ , żeby pierwiastki równań $x^2-qx+p = 0$ i $x^2-px+q = 0$ były liczbami naturalnymi.

XVIII OM - I - Zadanie 4

W okrąg o środku $O$ wpisano trójkąt $ABC$ i wyznaczono punkty $A_1$ i $B_1$ odpowiednio symetryczne, do wierzchołków $A$ i $B$ względem punktu $O$ oraz punkt $P$ , w którym prosta przechodząca przez punkt $A_1$ i środek $M$ boku $BC$ przecina się z prostą poprowadzoną przez punkt $B_1$ i środek $N$ boku $AC$ .
Dowieść, że środek ciężkości $S$ trójkąta $ABC$ leży na odcinku $PO$ i dzieli go w stosunku $2:1$ .

XVIII OM - I - Zadanie 3

W czworokącie wypukłym $ABCD$ połączono odcinkami środek M boku AB z wierzchołkami $C$ i $D$ , a środek $N$ boku $CD$ z wierzchołkami $A$ i $B$ . Odcinki $AN$ i $DM$ przecinają się w punkcie $P$ , a odcinki $BN$ i $CM$ w punkcie $Q$ . Dowieść, że pole czworokąta $MQNP$ równa się sumie pól trójkątów $APD$ i $CQB$ .

XVIII OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że

$ (1) \qquad \sqrt{3a+1} + \sqrt{2a+3} + \sqrt{17-5a} \leq \sqrt{63}, $

dla wszystkich wartości $a$ , dla których lewa strona tej nierówności ma sens liczbowy.

XVIII OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ (1)\qquad x^2 + y^2 + z^2 = 2xyz. $

XIX OM - III - Zadanie 6

Dany jest zbiór $n > 3$ punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe, oraz liczba naturalna $k < n$ . Udowodnić twierdzenia:
1. Jeżeli $k \leq \frac{n}{2}$ , to każdy punkt danego zbioru można połączyć z co najmniej $k$ innymi punktami zbioru w taki sposób, że wśród poprowadzonych odcinków nie ma trzech boków tego samego trójkąta.
2. Jeżeli $k > \frac{n}{2}$ i każdy punkt danego zbioru jest połączony z $k$ innymi punktami zbioru, to wśród poprowadzonych odcinków są trzy boki tego samego trójkąta.

XIX OM - III - Zadanie 5

Na płaszczyźnie leży $n$ punktów ( $n \geq 4$ ), z których każde cztery są wierzchołkami czworokąta wypukłego. Dowieść, że wszystkie te punkty są wierzchołkami wielokąta wypukłego.

Olimpiady Matematyczne