Olimpiada Matematyczna

XIX OM - I - Zadanie 2

Niech $p(n)$ oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych od liczby naturalnej $n$ . Dowieść, że jeżeli $n \geq 8$ , to $p(n) < \frac{n}{2}$

XIX OM - I - Zadanie 1

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{cases} |x + y| &= 1 \\ |x| + |y| &= 1. \end{cases} $

Dany jest zbiór $n$ punktów płaszczyzny nie zawierający się w jednej prostej. Dowieść, że istnieje okrąg przechodzący przez co najmniej trzy z tych punktów, wewnątrz którego nie ma żadnego z pozostałych punktów zbioru.

XX OM - III - Zadanie 5

Dla jakich wartości $n$ istnieje wielościan mający $n$ krawędzi?

XX OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $a, b, p, q, r, s$ , spełniają warunki

$ (1) \; qr-ps = 1,\quad (2) \; \frac{p}{q} < \frac{a}{b} < \frac{r}{s} $

to

$ b \geq q+s. $

XX OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że ośmiokąt, którego wszystkie boki są równe, a wszystkie długości boków są liczbami wymiernymi, ma środek symetrii.

XX OM - III - Zadanie 2

Dane są liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ , z których każde dwie są różne. Znaleźć najmniejszą wartość funkcji określonej wzorem

$ (1) \qquad y = |x-a_1| + |x-a_2| + \ldots + |x-a_n| $

XX OM - III - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c$ , spełniają warunek

$ (1) \qquad \frac{a}{m+2} + \frac{b}{m+1} + \frac{c}{m} = 0, $

gdzie $m$ oznacza liczbę dodatnią, to równanie

$ (2) ax^2 + bx + c = 0 $

ma pierwiastek zawarty między 0 i 1.

XX OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że każdy wielościan ma co najmniej dwie ściany o tej samej liczbie boków.

XX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli przy rzutowaniu równoległym jednej płaszczyzny na drugą płaszczyznę obrazem pewnego kwadratu jest kwadrat, to obrazem każdej figury jest figura do niej przystająca.

Olimpiady Matematyczne