Olimpiada Matematyczna

XX OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że dla dowolnych liczb naturalnych min zachodzi nierówność

$ (1) \qquad 1^m + 2^m + \ldots + n^m \geq n\cdot \left( \frac{n+1}{2}\right)^m $

Dany jest czworokąt $ABCD$ wpisany w koło. Obrazami punktów $A$ i $C$ w symetrii względem prostej $BD$ są odpowiednio punkty $A'$ i $C'$ , a obrazami punktów $B$ i $D$ w symetrii względem prostej $AC$ są odpowiednio punkty $B'$ i $D'$ . Dowieść, że punkty $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ leżą na okręgu.

XX OM - II - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie liczby czterocyfrowe, w których cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek, a cyfra dziesiątek - cyfrze jedności i które są kwadratami liczb całkowitych.

XX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby rzeczywiste $a, b, c, d$ spełniają równania

$ (1) \; a^2 + b^2 = 1,\quad (2) \; c^2 + d^2 = 1, \quad (3) \; ac + bd = -\frac{1}{2}, $

to

$ (4) \qquad a^2 + ac + c^2 = b^2 + bd + d^2. $

XX OM - I -Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli figura ma w przestrzeni $n$ osi symetrii, to liczba $n$ jest nieparzysta.

XX OM - I -Zadanie 11

W czworokącie wypukłym $ABCD$ suma odległości każdego wierzchołka od prostych $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ jest taka sama. Dowieść, że czworokąt ten jest równoległobokiem.

XX OM - I -Zadanie 10

Dowieść, że jeżeli $a_1, a_2, b_1, b_2$ są liczbami wymiernymi spełniającymi warunki

$ (1) a_1 \neq a_2, \; b_1 \neq b_2, \; (a_1b_2 - a_2b_1)^2 + 4(a_1-a_2)(b_1-b_2) = 0. $

to liczby

$ 1-a_1b_1, \quad 1-a_2b_2 $

są kwadratami liczb wymiernych.

XX OM - I -Zadanie 9

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej i dodatniej $n$

$ (1) \qquad \frac{1}{3}n^2 + \frac{1}{2} n + \frac{1}{6} \geq (n!)^{\frac{2}{n}} $

XX OM - I -Zadanie 8

Udowodnić twierdzenie:
Jeżeli

$ (1) \; \sin x + \sin y + \sin z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos x + \cos y + \cos z = 0, \text{ to} $

$ (2) \; \sin 2x + \sin 2y + \sin 2z = 0 \quad \text{i} \quad (2)\; \cos 2x + \cos 2y + \cos 2z = 0. $

XX OM - I -Zadanie 7

Kwadrat $ABCD$ obrócono dokoła jego środka $S$ o kąt ostry $\alpha$ , a następnie kwadrat obrócony przesunięto do położenia $EFGH$ o wektor długości boku kwadratu prostopadły do płaszczyzny kwadratu. Obliczyć objętość bryły ograniczonej kwadratami $ABCD$ i $EFGH$ oraz trójkątami $ABE$ , $BCF$ , $CDG$ , $DAH$ , $EFB$ , $FGC$ , $GHD$ , $HEA$ .