Olimpiada Matematyczna

XX OM - I -Zadanie 6

Rozwiązać równanie

$ (1) \qquad \left[ \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}\right] - \frac{1}{2}x = \frac{1}{2} $

Uwaga: Symbol $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

XX OM - I -Zadanie 5

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $a$ i $b$ i naturalnego $n$

$ \frac{a^n + b^n}{2} \geq \left( \frac{a+b}{2}\right)^n. $

XX OM - I -Zadanie 4

Dane są punkty $A, B, C, D$ nie lezące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.

XX OM - I -Zadanie 3

Dowieść, że żadna figura nie może mieć dokładnie dwóch środków symetrii.

XX OM - I -Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ (1) \qquad x + y = (x-y)^2. $

XX OM - I -Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli liczby $a_1, a_2, \ldots, a_n$ i $b_1, b_2, \ldots, b_n$ są dodatnie, to

$ (1) \; (a_1b_1 + a_2_b2 + \ldots a_nb_n)(\frac{a_1}{b_1} + \frac{a_2}{b_2} + \ldots + \frac{a_n}{b_n}) \geq (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)^2 $

XXI OM - III -Zadanie 6

Znaleźć najmniejszą liczbę rzeczywistą $A$ taką, że dla każdego trójmianu kwadratowego $f(x)$ spełniającego warunek

$ (1) \qquad |f(x)| \leq 1 \quad \text{dla}\quad 0 \leq x \leq 1 $

zachodzi nierówność $f'(0) \leq A$ .

XXI OM - III -Zadanie 5

Na ile sposobów zbiór złożony z dwunastu elementów można podzielić na sześć rozłączonych zbiorów dwuelementowych?

Na płaszczyźnie danych jest $n$ prostokątów o bokach odpowiednio równoległych do dwóch danych prostych prostopadłych. Udowodnić, że jeżeli każde dwa z tych prostokątów mają co najmniej jeden punkt wspólny, to istnieje punkt należący do wszystkich prostokątów.

XXI OM - III -Zadanie 3

Udowodnić, że $n > 1$ jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego naturalnego $k$ , takiego że $1 \leq k \leq n - 1$ , współczynnik dwumianowy

$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

dzieli się przez $n$ .

Olimpiady Matematyczne