Olimpiada Matematyczna

XXI OM - III -Zadanie 2

Dane są trzy ciągi nieskończone, których elementami są liczby naturalne:

$ \begin{split} a_1, a_2, \ldots, \\ b_1, b_2, \ldots, \\ c_1, c_2, \ldots, \end{split} $

przy czym jeżeli $i \neq j$ , to $a_i \neq a_j$ , $b_i \neq b_j$ , $c_i \neq c_j$ .
Udowodnić, że istnieje para wskaźników $k, l$ taka, że $k < l$ i $a_k < a_l$ , $b_k < b_l$ , $c_k < c_l$ .

Średnica $\overline{AB}$ dzieli okrąg na dwa półokręgi. Na jednym półokręgu obrano n punktów $P_1 P_2, \ldots, P_n$ tak, że $P_1$ leży między $A$ i $P_2$ , $P_2$ leży między $P_1$ i $P_3$ , $\ldots$ , $P_n$ leży między $P_{n-1}$ i $B$ . Jak należy wybrać punkt $C$ na drugim półokręgu, aby suma pól trójkątów $CP_1P_2, CP_2P_3, CP_3P_4, \ldots, CP_{n-1}P_n$ była największa?

XXI OM - II -Zadanie 6

Jeśli $A$ jest podzbiorem zbioru $X$ , to przyjmujemy $A^1 = A$ , $A^{-1} = X - A$ . Podzbiory $A_1, A_2, \ldots, A_k$ nazywamy wzajemnie niezależnymi, jeśli iloczyn $A_1^{\varepsilon_1} \cap A_2^{\varepsilon_2} \ldots A_k^{\varepsilon_k}$ jest niepusty dla każdego układu liczb $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots, \varepsilon_k$ , takiego, że $|\varepsilon_2| = 1$ dla $i = 1, 2, \ldots, k$ .
Jaka jest maksymalna liczba wzajemnie niezależnych podzbiorów zbioru $2^n$ -elementowego?

XXI OM - II -Zadanie 5

Dany jest wielomian $P(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}x^2$ . Niech $Q(x) = \sum_{k=0}^{m} b_k x^k$ będzie wielomianem określonym wzorem

$ Q(x) = P(x) \cdot P(x^3) \cdot P(x^9) \cdot P(x^{27}) \cdot P(x^{81}). $

Obliczyć $\sum_{k=0}^m |b_k|$ .

XXI OM - II -Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli trójkąt $T_1$ zawiera trójkąt $T_2$ , to obwód trójkąta $T_1$ jest nie mniejszy od obwodu trójkąta $T_2$ .

XXI OM - II -Zadanie 3

Udowodnić twierdzenie: Nie istnieje taka liczba naturalna $n > 1$ , że liczba $2^n - 1$ dzieli się przez $n$ .

XXI OM - II -Zadanie 2

Na bokach $n$ -kąta foremnego obrano $n + 1$ punktów dzielących obwód na równe części. Przy jakim położeniu obranych punktów pole wielokąta wypukłego o tych $n + 1$ wierzchołkach jest a) największe, b) najmniejsze?

XXI OM - II -Zadanie 1

Udowodnić, że

$ (1) \qquad |\cos n\beta - \cos n\alpha| \leq n^2 |\cos \beta - \cos\alpha|, $

gdzie $n$ jest liczbą naturalną. Zbadać, dla jakich wartości $n$ , $\alpha$ , $\beta$ zachodzi równość.

XXI OM - I -Zadanie 12

Znaleźć najmniejszą liczbę dodatnią $r$ o tej własności, że w czworościanie foremnym o krawędzi długości 1 istnieją takie cztery punkty, że odległość dowolnego punktu czworościanu od któregoś z nich jest $\leq r$ .

XXI OM - I -Zadanie 11

Udowodnić, że przy każdym podziale płaszczyzny na trzy zbiory w co najmniej jednym z nich istnieją dwa punkty odległe o 1.

Olimpiady Matematyczne