Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXI OM - II -Zadanie 3

Udowodnić twierdzenie: Nie istnieje taka liczba naturalna $ n > 1 $, że liczba $ 2^n - 1 $ dzieli się przez $ n $.

XXI OM - II -Zadanie 2

Na bokach $ n $-kąta foremnego obrano $ n + 1 $ punktów dzielących obwód na równe części. Przy jakim położeniu obranych punktów pole wielokąta wypukłego o tych $ n + 1 $ wierzchołkach jest a) największe, b) najmniejsze?

XXI OM - II -Zadanie 1

Udowodnić, że

\[<br /> (1) \qquad |\cos n\beta - \cos n\alpha| \leq n^2 |\cos \beta - \cos\alpha|,<br /> \]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną. Zbadać, dla jakich wartości $ n $, $ \alpha $, $ \beta $ zachodzi równość.

XXI OM - I -Zadanie 12

Znaleźć najmniejszą liczbę dodatnią $ r $ o tej własności, że w czworościanie foremnym o krawędzi długości 1 istnieją takie cztery punkty, że odległość dowolnego punktu czworościanu od któregoś z nich jest $ \leq r $.

XXI OM - I -Zadanie 11

Udowodnić, że przy każdym podziale płaszczyzny na trzy zbiory w co najmniej jednym z nich istnieją dwa punkty odległe o 1.

XXI OM - I -Zadanie 10

Znaleźć największą liczbę naturalną $ k $ o następującej własności : istnieje $ k $ takich różnych podzbiorów zbioru $ n $-elementowego, że każde dwa mają niepustą część wspólną.

XXI OM - I -Zadanie 9

Udowodnić, że dla każdej liczby nieparzystej $ n > 1 $ istnieje taka liczba naturalna $ d < n $, że liczba $ 2^d - 1 $ jest podzielna przez $ n $.

XXI OM - I -Zadanie 8

Na stole bilardowym w kształcie kwadratu znajduje się kula. Kulą pchnięto tak, że odbiła się od bandy (kąt padania równa się kątowi odbicia) pod kątem $ \alpha $. Dowieść, że kula będzie sią poruszać po łamanej zamkniętej wtedy i tylko wtedy, gdy $ \tan \alpha $. jest liczbą wymierną. Siłę tarcia oraz wymiary kuli pomijamy.

XXI OM - I -Zadanie 7

W równoległoboku $ ABCD $ połączono punkt $ A $ ze środkiem $ A' $ boku $ \overline{BC} $, punkt $ B $ ze środkiem $ B' $ boku $ \overline{CD} $, punkt $ C $ ze środkiem $ C' $ boku $ \overline{DA} $ oraz punkt $ D $ ze środkiem $ D' $ boku $ \overline{AB} $. Udowodnić, że punkty przecięcia prostych $ AA' $ i $ BB' $; $ BB' $ i $ CC' $; $ CC' $ i $ DD' $; $ DD' $ i $ AA' $ są wierzchołkami czworokąta o polu 5 razy mniejszym od pola równoległoboku $ ABCD $.

XXI OM - I -Zadanie 6

Udowodnić, że liczba rzeczywista $ a $ jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby całkowite $ p > n > m \leq 0 $, że $ a + m, a + n, a + p $ tworzą ciąg geometryczny.

Subskrybuje zawartość