Olimpiada Matematyczna

XXI OM - I -Zadanie 10

Znaleźć największą liczbę naturalną $k$ o następującej własności : istnieje $k$ takich różnych podzbiorów zbioru $n$ -elementowego, że każde dwa mają niepustą część wspólną.

XXI OM - I -Zadanie 9

Udowodnić, że dla każdej liczby nieparzystej $n > 1$ istnieje taka liczba naturalna $d < n$ , że liczba $2^d - 1$ jest podzielna przez $n$ .

Na stole bilardowym w kształcie kwadratu znajduje się kula. Kulą pchnięto tak, że odbiła się od bandy (kąt padania równa się kątowi odbicia) pod kątem $\alpha$ . Dowieść, że kula będzie sią poruszać po łamanej zamkniętej wtedy i tylko wtedy, gdy $\tan \alpha$ . jest liczbą wymierną. Siłę tarcia oraz wymiary kuli pomijamy.

XXI OM - I -Zadanie 7

W równoległoboku $ABCD$ połączono punkt $A$ ze środkiem $A'$ boku $\overline{BC}$ , punkt $B$ ze środkiem $B'$ boku $\overline{CD}$ , punkt $C$ ze środkiem $C'$ boku $\overline{DA}$ oraz punkt $D$ ze środkiem $D'$ boku $\overline{AB}$ . Udowodnić, że punkty przecięcia prostych $AA'$ i $BB'$ ; $BB'$ i $CC'$ ; $CC'$ i $DD'$ ; $DD'$ i $AA'$ są wierzchołkami czworokąta o polu 5 razy mniejszym od pola równoległoboku $ABCD$ .

XXI OM - I -Zadanie 6

Udowodnić, że liczba rzeczywista $a$ jest wymierna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby całkowite $p > n > m \leq 0$ , że $a + m, a + n, a + p$ tworzą ciąg geometryczny.

XXI OM - I -Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $M$ , $a_1, a_2, \ldots, a_10$ . Udowodnić, że jeżeli $a_1x_1 + a_2x_2 + \ldots + a_{10}x_{10} \leq M$ dla wszystkich takich $x_i$ , że $|x_i| = 1$ ( $i = 1, 2, \ldots, 10$ ), to

$<br /> \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \ldots + a_{10}^2} \leq M.<br />$

XXI OM - I -Zadanie 4

W kwadracie $ABCD$ , którego bok ma długość 1, leży czworokąt wypukły o polu większym od $\frac{1}{2}$ . Dowieść, że w tym czworokącie mieści się odcinek o długości $\frac{1}{2}$ równoległy do $\overline{AB}$ .

XXI OM - I -Zadanie 3

Na bokach $\overline{BC}$ , $\overline{CA}$ , $\overline{AB}$ trójkąta $ABC$ obrano odpowiednio punkty $K, L, M$ w taki sposób, że odcinki $\overline{AK}$ , $\overline{BL}$ , $\overline{CM}$ przecinają się w punkcie o lezącym wewnątrz trójkąta i $\frac{AS}{SK}=\frac{BS}{SL}=\frac{CS}{SM}$ . Dowieść, że $S$ jest środkiem ciężkości trójkąta.

XXI OM - I -Zadanie 2

Dany jest ciąg $\{c_n\}$ określony wzorami $c_1=\frac{a}{2}$ , $c_{n+1}=\frac{a+c_n^2}{2}$ gdzie $a$ jest daną liczbą spełniającą nierówność $0 < a < 1$ . Dowieść, że dla każdego $n$ zachodzi nierówność $c_n < 1 - \sqrt{1 - a}$ Wykazać zbieżność ciągu $\{c_n\}$ i obliczyć jego granicę.