1970-1979

XXIII OM - III - Zadanie 4

Na prostej nie mającej punktów wspólnych z kulą $ K $ dane są punkty $ A $ i $ B $. Rzut prostokątny $ P $ środka kuli $ K $ na prostą $ AB $ lezy między punktami $ A $ i $ B $, przy czym $ AP $ i $ BP $ są większe od promienia kuli. Rozpatrujemy zbiór $ Z $ trójkątów $ ABC $, których boki $ \overline{AC} $ i $ \overline{BC} $ są styczne do kuli $ K $. Udowodnić, że $ T $ jest trójkątem o największym obwodzie spośród trójkątów zbioru $ Z $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ T $ jest trójkątem o największym polu spośród trójkątów zbioru $ Z $.

XXIII OM - III - Zadanie 3

Dowieść, że istnieje taki wielomian $ P(x) $ o współczynnikach całkowitych, że dla wszystkich $ x $ z przedziału $ \langle \frac{1}{10}, \frac{9}{10}\rangle $ zachodzi nierówność

\[<br /> \left| P(x) - \frac{1}{2}\right| < \frac{1}{1000}<br /> \]

XXIII OM - III - Zadanie 2

Na płaszczyźnie danych jest $ n > 2 $ punktów, z których żadne trzy nie ją współliniowe. Udowodnić, że najkrótsza spośród łamanych zamkniętych przechodzących przez te punkty jest łamaną zwyczajną.

XXIII OM - III - Zadanie 1

Wielomiany $ u_1(x) = a_ix + b_i $ ($ a_i, b_i $ - liczby rzeczywiste; $ i = 1, 2, 3 $) spełniają dla pewnego naturalnego $ n > 2 $ równanie

\[<br /> (1) \qquad [u_1(x)]^n + [u_2(x)]^n = [u_3(x)]^n.<br /> \]

Udowodnić, że istnieją takie liczby rzeczywiste $ A, B, c_1, c_2, c_3 $, że $ u_i(x)=c_i(Ax+B) $ dla $ i = 1, 2, 3 $.

XXIII OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że istnieje funkcja $ f $ określona i różniczkowalna w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, spełniająca warunki

\[<br /> \begin{split}<br /> |f'(x) - f'(y)| \leq 4|x-y|<br /> \end{split}<br /> \]

XXIII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że w czworokącie wypukłym wpisanym w koło proste przechodzące przez środki boków i prostopadłe do boków przeciwległych przecinają się w jednym punkcie.

XXIII OM - II - Zadanie 4

Sześcian o krawędzi długości $ n $ podzielono płaszczyznami równoległymi do jego ścian na $ n^3 $ sześcianów jednostkowych. Ile istnieje par złożonych z takich sześcianów jednostkowych, które mają nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne?

XXIII OM - II - Zadanie 3

Współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie kartezjańskim $ XOY $ są liczbami całkowitymi. Dowieść, że średnica koła opisanego na tym trójkącie jest nie większa od iloczynu długości boków trójkąta.

XXIII OM - II - Zadanie 2

W prostokącie o bokach długości 20 i 25 umieszczono 120 kwadratów o boku długości 1. Dowieść, że istnieje koło o średnicy 1 zawarte w tym prostokącie i nie mające punktów wspólnych z żadnym z tych kwadratów.

XXIII OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że nie istnieją takie liczby rzeczywiste $ a, b, c $, $ x_1, x_2, x_3 $, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $

\[<br /> \begin{split}<br /> ax^2 + bx + c &= a(x - x_2)(x - x_3), \\<br /> (1) \qquad bx^2 + cx + a &= b(x - x_3) (x - x_1),\\<br /> cx^2 + ax + b &= c(x - x_1) (x - x_2)<br /> \end{split}<br /> \]

oraz $ x_1 \neq x_2 $, $ x_2 \neq x_3 $, $ x_3 \neq x_1 $, $ abc \neq 0 $.

Subskrybuje zawartość