Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

III OM - I - Zadanie 3

Wykazać, że jeżeli

\[<br /> (1) \qquad<br /> \frac{a-b}{1+ab} + \frac{b-c}{1+bc} + \frac{c-a}{1+ca} = 0,<br /> \]

to co najmniej dwie spośród liczb $ a $, $ b $, $ c $ są równe.

III OM - I - Zadanie 1

Do dwóch okręgów poprowadzono wspólną styczną wewnętrzną oraz obie wspólne styczne zewnętrzne. Dowieść, że odcinek stycznej wewnętrznej zawarty między stycznymi zewnętrznymi jest równy odcinkowi stycznej zewnętrznej zawartemu między jej punktami styczności.

IV OM - III - Zadanie 6

Jaki związek algebraiczny zachodzi między $ \alpha $, $ \beta $ i $ \gamma $, gdy spełniona jest równość

\[<br /> (1) \qquad \tan \alpha + \tan \beta + \tan \gamma = \tan \alpha \tan \beta \tan \gamma?<br /> \]

IV OM - III - Zadanie 5

Z punktu $ O $ wyrusza po prostoliniowej szosie samochód i jedzie ze stałą prędkością $ v $. Do samochodu tego pragnie podać list rowerzysta, który znajduje się w odległości $ a $ od punktu $ O $ i w odległości $ b $ od szosy. Z jaką minimalną prędkością powinien jechać rowerzysta, aby osiągnąć swój cel?

IV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $ n $ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

\[<br /> (1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1},<br /> \]

gdzie $ m $ jest liczbą naturalną.

IV OM - III - Zadanie 3

Przez każdy wierzchołek czworościanu o danej objętości $ V $ poprowadzono płaszczyznę równoległą do przeciwległej ściany czworościanu. Obliczyć objętość czworościanu utworzonego przez te płaszczyzny.

IV OM - III - Zadanie 2

Znaleźć miejsce geometryczne środka prostokąta, którego wierzchołki leżą na obwodzie danego trójkąta.

IV OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy równanie

\[<br /> (1) \qquad \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c} = 0,<br /> \]

gdzie $ a $, $ b $, $ c $ oznaczają dane liczby rzeczywiste, ma pierwiastki rzeczywiste.

IV OM - II - Zadanie 6

Dany jest okrąg i dwie styczne do tego okręgu. Poprowadzić trzecią styczną do okręgu w taki sposób, żeby jej odcinek zawarty między danymi stycznymi miał daną długość $ d $.

Subskrybuje zawartość