Ciągi

XXXII - I - Zadanie 12

Dla danej liczby naturalnej $n > 1$ określamy ciąg $(a_0, a_1, \ldots, a_n)$ jak następuje:

$ \begin{split} a_0 &=\frac{1}{2}, \\ a_{k + 1} = a_k + \frac{a_k}{n^2}\quad \text{ dla }\quad k = 0, 1, 2, n - 1. \end{split} $

Udowodnić, że $a_n < 1$ .

Niech $(x_n)$ będzie ciągiem liczb naturalnych spełniających warunki
a) $x_1 < x_2 < x_3 <\ldots$ ,
b) istnieje takie $j \in \mathbb{N}$ , $j > 1$ , że $x_j = j$ ,
c) $x_{kl} = x_kx_l$ , dla względnie pierwszych $k,l \in \mathbb{N}$ .
Wykazać, że $x_n = n$ dla każdego $n$ .

XXXII - I - Zadanie 1

Dane są ciągi $(x_n)$ , $(y_n)$ liczb rzeczywistych spełniające warunki

$ \begin{split} x_{n+1} %= x_n^3 - 3x_n \\ y_{n+1} = y_n^3 - 3y_n \quad \text{dla } n = 0, 1, 2, \ldots, \\ x_0^2 = y_0 + 2. \end{split} $

Dowieść, że $x_n^2 = y_n + 2$ dla $n = 1, 2,\ldots$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 9

W szachownicy utworzonej przez podział kwadratu o boku długości $n$ na kwadraty jednostkowe prostymi równoległymi do boków kwadratu rozpatrujemy wszystkie kwadraty, których boki zawarte są w prostych wyznaczających szachownicę. Niech $1 \leq k \leq n$ i $P(k,n)$ oznacza liczbę tych kwadratów, których długości boków nie przekraczają $k$ . Niech $k(n)$ będzie największą spośród takich liczb $k$ , że $P(k, n) \leq \frac{1}{2} P(n, n)$ . Obliczyć $\lim_{n\to \infty} \frac{k(n)}{n}$ .

XXXIII OM - I - Zadanie 3

Obliczyć granicę

$ \lim_{n\to \infty} a_5a_6\ldots a_n, $

gdzie

$ a_k = \frac{k^4-17k^2+16}{k^4-8k^2+16}. $

XXXIV OM - II - Zadanie 6

Dla danej liczby $n$ oznaczmy przez $p_n$ prawdopodobieństwo tego, że przy losowym wyborze pary liczb całkowitych $k, m$ spełniających warunki $0 \leq k \leq m \leq 2^n$ (wybór każdej pary jest jednakowo prawdopodobny) liczba $\binom{m}{k}$ będzie parzysta. Obliczyć $\lim_{n\to \infty} p_n$ .