Liczby całkowite

XVII OM - II - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli liczby naturalne $ a $ i $ b $ spełniają równanie $ a^2+a = 3b^2 $, to liczba $ a+1 $ jest kwadratem liczby całkowitej.

XVIII OM - III - Zadanie 1

Znaleźć najwyższą potęgę liczby 2 będącą dzielnikiem liczby

\[<br /> L_n = (n+1)(n+2)\ldots 2n,<br /> \]

gdzie $ n $ jest liczbą naturalną.

XVIII OM - I - Zadanie 10

Trójka liczb całkowitych tworzy postęp geometryczny o ilorazie całkowitym. Gdy najmniejszą z nich zwiększymy o 9, powstanie postęp arytmetyczny. Jakie to liczby?

XIX OM - II - Zadanie 6

Na płaszczyźnie obrano $ n \geq 3 $ punktów nie leżących na jednej prostej. Prowadząc proste przez każde dwa z tych punktów otrzymano $ k $ prostych. Dowieść, że $ k \geq n $.

XIX OM - I - Zadanie 9

Dowieść, że jeżeli $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ oznaczają liczby $ 1, 2, \ldots, n $ ustawione w dowolnym porządku, a $ n $ jest liczbą nieparzystą, to liczba $ N = (a_1 - 1)(a_2 - 2) \ldots (a_n - n) $ jest parzysta.

Subskrybuje zawartość