Liczby rzeczywiste

XXVII OM - I - Zadanie 1

Rozłożyć na czynniki możliwie najniższego stopnia :
a) $ (a + b + c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 $,
b) $ 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 $.

XXX OM - I - Zadanie 3

Liczby $ a, b, c, d, e $ są liczbami wymiernymi dodatnimi. Dowieść, że istnieją takie liczby wymierne $ u_1, u_2, \ldots, u_n $ oraz liczby wymierne nieujemne $ w_1, w_2, \ldots, w_n $, że

\[<br /> \frac{1}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}+\sqrt[4]{c}+\sqrt[4]{d}+\sqrt[4]{e}} = u_1\sqrt[4]{w_1} + u_2\sqrt[4]{w_2} + \ldots + u_n\sqrt[4]{w_n}.<br /> \]

XXXII - I - Zadanie 6

Dane są liczby $ a_1\geq a_2 \geq \ldots \geq a_n \geq 0 $ spełniające warunek $ \sum_{i=1}^n a_i = 1 $. Udowodnić, że istnieją liczby całkowite $ k_1\geq k_2 \geq \ldots \geq k_n \geq 0 $ takie, że

\[<br /> \sum_{i=1}^n k_i = n \quad \text{ i } \quad \frac{k_j}{n}\leq 2a_j \quad \text{ dla } j=1,2,\ldots, n.<br /> \]

XXXIII OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie pary liczb dodatnich $ x, y $ spełniające układ równań

\[<br /> \begin{split}<br /> x^2 + y^2 &= a^2 + b^2 \\<br /> x^3 + y^3 &= a^3 + b^3<br /> \end{split}<br /> \]

gdzie $ a, b $ są danymi liczbami dodatnimi.

XXXIV OM - III - Zadanie 2

Dana jest liczba niewymierna $ a $ należąca do przedziału $ (0,1) $ i liczba naturalna $ N $. Udowodnić, że istnieją takie liczby naturalne $ p, q, r, s $, że

\[<br /> \frac{p}{q} < a < \frac{r}{s}, \; \frac{r}{s} - \frac{p}{q} < \frac{1}{N} \quad \text{oraz} \quad rq-ps=1.<br /> \]

XXXIV OM - I - Zadanie 10

Czy istnieją trzy punkty płaszczyzny o współrzędnych postaci $ a+b\sqrt[3]{2} $, gdzie $ a, b $ są liczbami wymiernymi, o tej własności, że co najmniej jedna z odległości dowolnego punktu płaszczyzny od każdego z tych punktów jest liczbą niewymierną?

Subskrybuje zawartość