Nierówności

XXIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że jeżeli $ A, B, C $ są kątami trójkąta, zaś $ t $ - liczbą rzeczywistą, to

\[<br /> \cos A + t (\cos B + \cos C) \leq 1 + \frac{t^2}{2} .<br /> \]

XXIV OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie $ x, y, z $ spełniają nierówność

\[<br /> \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} + \frac{y^2+z^2-x^2}{2yz} + \frac{z^2+x^2-y^2}{2xz} > 1,<br /> \]

to są one długościami boków pewnego trójkąta.

XXIV OM - I - Zadanie 5

Liczby rzeczywiste $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ spełniają równanie

\[<br /> x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0,<br /> \]

niech $ m $ będzie najmniejszą, zaś $ M $ - największą z tych liczb. Dowieść, że $ x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leq -nmM $ i określić, kiedy zachodzi równość.

XXV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ i ciągu liczb rzeczywistych $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ istnieje liczba naturalna $ k \leq n $ taka, że

\[<br /> \left| \sum_{i=1}^k a_i - \sum_{i=k+1}^n a_i \right| \leq \max_{1\leq i \leq n} |a_i|<br /> \]

XXV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $ n = 2, 3, \ldots $ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $, $ s_1, s_2, \ldots, s_n $, jeżeli

\[<br /> \sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0.<br /> \]

XXV - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c $ pewna, wartość funkcji $ f(x) = |a \sin x + b \sin 2x + c sin 4x| $ jest nie mniejsza od $ \frac{1}{2}(|a| + |b| + |c|) $.

XXV - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeśli $ x_1, \ldots, x_n $ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $ \sum_{i=1}^n x_i = 0 $, to dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $ prawdziwa jest nierówność

\[<br /> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i-t_j)^2 x_ix_j<br /> \]

XXVI - III - Zadanie 3

Wyznaczyć najmniejszą liczbę dodatnią $ \alpha $, dla której istnieje liczba dodatnia $ \beta $ taka, że dla każdego $ x $ z przedziału $ \rangle 0; 1\rangle $ jest

\[<br /> \sqrt{1+x} + \sqrt{1-x} \leq 2-\frac{x^{\alpha}}{\beta}<br /> \]

Dla wyznaczonej wartości $ \alpha $ znaleźć najmniejszą liczbę dodatnią $ \beta $ spełniającą tę nierówność.

XXVI - II - Zadanie 4

Dowieść, że na to, aby liczby nieujemne $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ ($ n = 1, 2, \ldots $) spełniały dla dowolnych liczb rzeczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ nierówność

\[<br /> \left( \sum_{i=1}^n a_i x_i^2 \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i x_i^4.<br /> \]

potrzeba i wystarcza, aby $ \sum_{i=1}^n a_i \leq 1 $.

Subskrybuje zawartość