Planimetria

VI OM - I - Zadanie 3

Przez środek jednego z boków nierównoległych trapezu przeprowadzić prostą, która dzieli trapez na dwie części o równych polach.

VII OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy wielokąt o obwodzie równym $2a$ można nakryć krążkiem o średnicy równej $a$ .

Na prostej dane są trzy różne punkty $M$ , $D$ , $H$ . Zbudować trójkąt prostokątny, dla którego $M$ jest środkiem przeciwprostokątnej, $D$ - punktem przecięcia dwusiecznej kąta prostego z przeciwprostokątną, a $H$ - spodkiem wysokości na przeciwprostokątną.

VII OM - II - Zadanie 3

Jednorodna pozioma płyta o ciężarze $Q$ kG mająca kształt koła jest podparta w punktach $A$ , $B$ , $C$ leżących na obwodzie płyty, przy czym $AC = BC$ i $ACB = 2\alpha$ . Jaki ciężar $x$ kG należy umieścić na płycie w drugim końcu $D$ średnicy poprowadzonej z punktu $C$ , aby nacisk płyty na podporę w $C$ G był równy zeru?

VII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $H$ jest punktem przecięcia wysokości trójkąta nieprostokątnego $ABC$ , to okręgi opisane na trójkątach $AHB$ , $BHC$ , $CHA$ i $ABC$ są równe.

VII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że: a) suma odległości dowolnego punktu $M$ trójkąta równobocznego od trzech boków trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od położenia punktu $M$ w trójkącie; b) suma odległości dowolnego punktu czworościanu foremnego od czterech ścian czworościanu jest stała.

VII OM - I - Zadanie 11

W trójkącie o bokach $a$ , $b$ , $c$ poprowadzono odcinki $m$ , $n$ , $p$ styczne do koła wpisanego w trójkąt, mające końce na bokach trójkąta i równoległe odpowiednio do boków $a$ , $b$ , $c$ . Wykazać, że

$<br /> \frac{m}{a} + \frac{n}{b} + \frac{p}{c} = 1.<br />$

VII OM - I - Zadanie 8

Dany jest trójkąt ostrokątny $ABC$ i wewnątrz jednego z jego boków punkt $M$ . Zbudować trójkąt o najmniejszym obwodzie, którego jednym wierzchołkiem jest punkt $M$ , a dwa inne leżą na dwóch pozostałych bokach trójkąta.

VII OM - I - Zadanie 4

Dowieść, że środki odcinków łączących środek okręgu wpisanego w trójkąt ze środkami okręgów dopisanych leżą na okręgu opisanym na tym trójkącie.

VII OM - I - Zadanie 3

W kwadracie $ABCD$ o polu $S$ połączono wierzchołek $A$ ze środkiem boku $BG$ , wierzchołek $B$ ze środkiem boku $CD$ , wierzchołek $C$ ze środkiem boku $DA$ i wierzchołek $D$ ze środkiem boku $AB$ . Obliczyć pole tej części kwadratu, w której leży jego środek.