Stereometria

XVII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić twierdzenie: Jeżeli suma kątów płaskich przy wierzchołku ostrosłupa prawidłowego jest równa $180^{\circ}$ , to w tym ostrosłupie środek kuli opisanej pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej.

XVII OM - I - Zadanie 8

W przestrzeni dane są trzy proste. Znaleźć prostą przecinającą je w takich punktach $A, B, C$ , że $\frac{AB}{BC}$ równa się danej liczbie dodatniej $k$ .

XVII OM - I - Zadanie 5

Dane są liczby dodatnie $p$ i $q$ . Dowieść, że prostopadłościan, w którym suma krawędzi równa się $4p$ , a pole powierzchni równa się $2q$ , istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy $p^2 \geq 3q$ .

Dana jest kula i płaszczyzna nie mająca z kulą punktów wspólnych. Znaleźć miejsce geometryczne środków okręgów styczności z kulą tych stożków opisanych na kuli, których wierzchołki leżą na danej płaszczyźnie.

XVIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, ze punkty $A_1, A_2, \ldots, A_n$ ( $n \geq 7$ ) znajdujące się na powierzchni kuli leżą wtedy i tylko wtedy na okręgu, gdy płaszczyzny styczne do powierzchni kuli w tych punktach mają punkt wspólny lub są równoległe do jednej prostej.

XVIII OM - I - Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli punkty $A, B, C, D, E$ przestrzeni są tak położone, że

$<br /> (1) \qquad AB = BC = CD = DE = EA,<br />$

$<br /> (2) \qquad \measuredangle ABC = \measuredangle BCD = \measuredangle CDE = \measuredangle DEA = \measuredangle EAB,<br />$

to punkty $A, B, C, D, E$ znajdują się na jednej płaszczyźnie.

XVIII OM - I - Zadanie 8

Dana jest kula $k$ , okrąg $c$ leżący na jej powierzchni oraz taki punkt $S$ nie leżący na tej powierzchni, że każda prosta przechodząca przez $S$ i przez jakiś punkt $M$ okręgu $c$ przecina powierzchnię kuli $k$ jeszcze w pewnym punkcie $N$ różnym od $M$ . Udowodnić, że zbiór $Z$ wszystkich punktów $N$ tworzy okrąg.

XVIII OM - I - Zadanie 7

Na płaszczyźnie leży $2n$ punktów. Dowieść, że istnieje prosta nie przechodząca przez żaden z tych punktów i dzieląca płaszczyznę na półpłaszczyzny, z których każda zawiera $n$ spośród danych punktów. Sformułować i udowodnić analogiczne twierdzenie dla przestrzeni.

XIX OM - III - Zadanie 3

W czworościanie $ABCD$ krawędzie $AD$ , $BD$ , $CD$ są równe. Na płaszczyźnie $ABC$ obrano punkty niewspółliniowe $A_1, B_1, C_1$ Proste $DA_1, DB_1, DC_1$ przecinają powierzchnię kuli opisanej na czworościanie odpowiednio w punktach $A_2, B_2, C_2$ , różnych od punktu $D$ . Udowodnić, że punkty $A_1, B_1, C_1, A_2, B_2, C_2$ leżą na powierzchni pewnej kuli.

XIX OM - II - Zadanie 5

Czworościany $ABCD$ i $A_1B_1C_1D_1$ są tak położone, że środki odcinków $AA_1$ , $BB_1$ , $CC_1$ , $DD_1$ są odpowiednio środkami ciężkości trójkątów $BCD$ , $ACD$ , $ABD$ i $ABC$ . W jakim stosunku są objętości tych czworościanów?