Wielomiany

XXVI - II - Zadanie 6

Niech $ f(x) $ i $ g(x) $ będą wielomianami o współczynnikach całkowitych. Dowieść, że jeżeli dla każdej wartości całkowitej $ n $ liczba $ g(n) $ dzieli się przez liczbę $ f(n) $, to $ g(x) = f(x)\cdot h(x) $, gdzie $ h(x) $ jest wielomianem,. Pokazać na przykładzie, że współczynniki wielomianu $ h(x) $ nie muszą być całkowite.

XXVI - II - Zadanie 1

Dany jest wielomian $ W(x) = x^4 + ax^3 + bx + cx + d $. Dowieść, że jeżeli równanie $ W(x) = 0 $ ma cztery pierwiastki rzeczywiste, to na to, żeby istniało $ m $ takie, że $ W(x+m) = x^4+px^2+q $, potrzeba i wystarcza, aby suma pewnych dwóch pierwiastków równania $ W(x) = 0 $ równała się sumie pozostałych.

XXVI - I - Zadanie 5

Wyznaczyć wszystkie liczby całkowite $ m $, dla których wielomian $ x^3-mx^2+mx-(m^2+1) $ ma pierwiastek całkowity.

XXVIII - III - Zadanie 6

Dany jest wielomian

\[<br /> W(x)= (x-a)^k\cdot Q(x),<br /> \]

gdzie $ a \neq O $, $ Q $ jest wielomianem niezerowym, $ k $ jest liczbą naturalną. Dowieść, że $ W $ ma co najmniej $ k + 1 $ współczynników różnych od zera.

XXVIII - II - Zadanie 5

Niech wielomiany $ w_n $ będą określone wzorami:

\[<br /> w_1(x) = x^2 - 1, \quad w_{n+1}(x) = w_n(x)^2 - 1, \quad (n = 1, 2, \ldots)<br /> \]

i niech $ a $ będzie liczbą rzeczywistą. Ile różnych rozwiązań rzeczywistych ma równanie $ w_n(x) = a $?

XXVIII - I - Zadanie 12

Rozstrzygnąć, w którym z wielomianów $ (1 - 9x + 7x^2 - 6x^3)^{1976} $, $ (1 + 9x - 7x^2 + 6x^3)^{1976} $ współczynnik przy $ x^{1976} $ jest większy.

XXVIII - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli $ P(x, y) $ jest takim wielomianem dwóch zmiennych, że $ P(x, y) = P(y, x) $ dla wszystkich $ x, y $ rzeczywistych oraz wielomian $ (x-y) $ dzieli $ P(x, y) $, to wielomian $ (x - y)^2 $ także dzieli $ P(x, y) $.

XXVIII - I - Zadanie 2

Dane są trzy różne liczby całkowite $ a, b, c $. Udowodnić, że nie istnieje wielomian $ w(x) $ o współczynnikach całkowitych taki, że

\[<br /> w(a) = b, \quad w(b) = c, \quad w(c) = a.<br /> \]

XXX OM - III - Zadanie 6

Wielomian $ w $ stopnia $ n $ ($ n>1 $) ma $ n $ różnych pierwiastków Wnczywistych $ x_1, x_2, \ldots, x_n $. Udowodnić, że

\[<br /> \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0.<br /> \]

XXX OM - I - Zadanie 10

Dane są ciągi wielomianów $ (P_n) $, $ (Q_n) $ określone, jak następuje:

\[<br /> \begin{split}<br /> P_0 = Q_0 &= 1, \\<br /> P_n(x) &= P_{n-1}(x) + x^{2^{n-1}}\cdot Q_{n-1}(x),\\<br /> Q_n(x) &= P_{n-1}(x) - x^{2^{n-1}} \cdot Q_{n-1}(x).<br /> \end{split}<br /> \]

Niech $ a_n $ będzie liczbą współczynników wielomianu $ P_n $ równych 1. Udowodnić, że istnieje granica $ \lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{2^n} $ i obliczyć ją.

Subskrybuje zawartość