Olimpiada Matematyczna

IV OM - III - Zadanie 4

Dowieść, że jeżeli $n$ jest liczbą naturalną, to zachodzi równość

$ (1) \qquad (\sqrt{2}- 1)^n = \sqrt{m} - \sqrt{m-1}, $

gdzie $m$ jest liczbą naturalną.

IV OM - III - Zadanie 3

Przez każdy wierzchołek czworościanu o danej objętości $V$ poprowadzono płaszczyznę równoległą do przeciwległej ściany czworościanu. Obliczyć objętość czworościanu utworzonego przez te płaszczyzny.

IV OM - III - Zadanie 2

Znaleźć miejsce geometryczne środka prostokąta, którego wierzchołki leżą na obwodzie danego trójkąta.

IV OM - III - Zadanie 1

Zbadać, czy równanie

$ (1) \qquad \frac{1}{x - a} + \frac{1}{x - b} + \frac{1}{x - c} = 0, $

gdzie $a$ , $b$ , $c$ oznaczają dane liczby rzeczywiste, ma pierwiastki rzeczywiste.

IV OM - II - Zadanie 6

Dany jest okrąg i dwie styczne do tego okręgu. Poprowadzić trzecią styczną do okręgu w taki sposób, żeby jej odcinek zawarty między danymi stycznymi miał daną długość $d$ .

IV OM - II - Zadanie 5

Obliczyć objętość $V$ czworościanu $ABCD$ mając daną długość $d$ krawędzi $AB$ oraz pole $S$ rzutu czworościanu na płaszczyznę prostopadłą do prostej $AB$ .

IV OM - II - Zadanie 4

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \begin{array}{c} x_1x_2 = 1\\ x_2x_3 = 2\\ x_3x_4 = 3\\ \ldots\\ x_nx_1 = n \end{array} $

IV OM - II - Zadanie 3

Trójkątny kawałek blachy waży $900$ g. Dowieść, że rozcinając tę blachę po prostej przechodzącej przez środek ciężkości trójkąta nie można odciąć kawałka ważącego mniej niż $400$ g.

IV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że równanie

$ (1) \qquad (x - a) (x - c) + 2 (x - b) (x - d) = 0, $

w którym $a < b < c < d$ , ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

$ \begin{array}{rcl} 1 & = & 1 \\ 2 + 3 + 4 & = & 1 + 8 \\ 5 + 6 + 7 + 8 + 9 & = & 8 + 27\\ 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 16 & = & 27 + 64\\ & \ldots & \end{array} $

Napisać taki wzór na $n$ -ty wiersz tablicy, który by przy podstawieniach $n = 1, 2, 3, 4$ dawał powyższe cztery wiersze tablicy i był prawdziwy dla każdego naturalnego $n$ .

Olimpiady Matematyczne