2000-2009

LIII OM - III - Zadanie 2

Na bokach $ AC $ i $ BC $ trójkąta ostrokątnego $ ABC $ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ ACPQ $ i $ BKLC $ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $ PL $, punkt $ C $ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $ leżą na jednej prostej.

LIII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb naturalnych $ a $, $ b $, $ c $, że liczby $ a^2 +1 $ i $ b^2 +1 $ są pierwsze oraz

\[<br /> (a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1 .<br /> \]

LIII OM - II - Zadanie 5

Trójkąt $ ABC $, w którym $ \measuredangle A = 90^\circ $, jest podstawą ostrosłupa $ ABCD $. Ponadto zachodzą równości

\[<br /> AD = BD \ \textrm{oraz}\ AB = CD.<br /> \]

Udowodnić, że $ \measuredangle ACD \geq 30^\circ $ .

LIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $ p \leq q \leq r $, że liczby

\[<br /> pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2}<br /> \]

są pierwsze.

LIII OM - II - Zadanie 3

W $ n $-osobowym stowarzyszeniu działa sześć komisji. W skład każdej z nich wchodzi nie mniej niż $ n/4 $ osób. Dowieść, że istnieją dwie komisje oraz grupa licząca nie mniej niż $ n/30 $ osób, należących do obu tych komisji.

LIII OM - II - Zadanie 1

Dana jest taka funkcja $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $ zachodzą równości

\[<br /> f(x) = f(2x) = f(1 - x) .<br /> \]

Dowieść, że funkcja $ f $ jest okresowa.

LIV OM - III - Zadanie 6

Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą parzystą. Udowodnić, że istnieje permutacja $ (x_1,x_2, \ldots ,x_n) $ zbioru $ \{1,2,\ldots,n\} $, spełniająca dla każdego $ i \in \{1,2,\ldots ,n\} $ warunek:

$ x_{i+1} $ jest jedną z liczb $ 2x_i $, $ 2x_i-1 $, $ 2x_i-n $, $ 2x_i-n-1 $,

przy czym $ x_{n+1} = x_1 $.

LIV OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ ABCD $ jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ H $. Druga sfera jest styczna do ściany $ ABC $ w punkcie $ O $ oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli $ O $ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ ABC $, to $ H $ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

LIV OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite $ x $, $ y $, $ z $, że

\[<br /> 0 <x <y < z <p.<br /> \]

Wykazać, że jeśli liczby $ x^3 $, $ y^3 $, $ z^3 $ dają takie same reszty przy dzieleniu przez $ p $, to liczba $ x^2 + y^2 + z^2 $ jest podzielna przez $ x + y + z $.

LIV OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $ W $ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $ n $ liczba $ 2^n-1 $ jest podzielna przez $ W(n) $.

Subskrybuje zawartość