2000-2009

LIII OM - III - Zadanie 3

Na tablicy są napisane trzy nieujemne liczby całkowite. Wybieramy z tej trójki dwie liczby $k$ , $m$ i zastępujemy je liczbami $k + m$ i $|k - m|$ , a trzecia liczba pozostaje bez zmiany. Z otrzymaną trójką postępujemy tak samo. Rozstrzygnąć, czy z każdej początkowej trójki liczb całkowitych nieujemnych, kontynuując to postępowanie, można otrzymać trójkę, w której co najmniej dwie liczby są zerami.

LIII OM - III - Zadanie 2

Na bokach $AC$ i $BC$ trójkąta ostrokątnego $ABC$ zbudowano, po jego zewnętrznej stronie, prostokąty $ACPQ$ i $BKLC$ o równych polach. Udowodnić, że środek odcinka $PL$ , punkt $C$ oraz środek okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ leżą na jednej prostej.

LIII OM - III - Zadanie 1

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb naturalnych $a$ , $b$ , $c$ , że liczby $a^2 +1$ i $b^2 +1$ są pierwsze oraz

$ (a^2 + 1)(b^2 + 1) = c^2 + 1 . $

LIII OM - II - Zadanie 6

Wyznaczyć wszystkie takie liczby naturalne n, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},$ $y_{1},y_{2},\ldots,y_{n}$ zachodzi nierówność

$ (1) \qquad x_{1}x_{2}\ldots x_{n}+y_{1}y_{2}\ldots y_{n}\leq\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\cdot\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}\cdot\ldots\cdot\sqrt{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}. $

LIII OM - II - Zadanie 5

Trójkąt $ABC$ , w którym $\measuredangle A = 90^\circ$ , jest podstawą ostrosłupa $ABCD$ . Ponadto zachodzą równości

$ AD = BD \ \textrm{oraz}\ AB = CD. $

Udowodnić, że $\measuredangle ACD \geq 30^\circ$ .

LIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie takie trójki liczb pierwszych $p \leq q \leq r$ , że liczby

$ pq+r,\ pq+r^{2},\ qr+p,\ qr+p^{2},\ rp+q,\ rp+q^{2} $

są pierwsze.

LIII OM - II - Zadanie 3

W $n$ -osobowym stowarzyszeniu działa sześć komisji. W skład każdej z nich wchodzi nie mniej niż $n/4$ osób. Dowieść, że istnieją dwie komisje oraz grupa licząca nie mniej niż $n/30$ osób, należących do obu tych komisji.

LIII OM - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ABCD$ zachodzą równości

$ \measuredangle ADB = 2 \measuredangle ACB \ \textrm{oraz}\ \measuredangle BDC = 2\measuredangle BAC. $

Udowodnić, że $AD = CD$ .

LIII OM - II - Zadanie 1

Dana jest taka funkcja $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $x$ zachodzą równości

$ f(x) = f(2x) = f(1 - x) . $

Dowieść, że funkcja $f$ jest okresowa.

LIV OM - III - Zadanie 6

Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą parzystą. Udowodnić, że istnieje permutacja $(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ zbioru $\{1,2,\ldots,n\}$ , spełniająca dla każdego $i \in \{1,2,\ldots ,n\}$ warunek: