1990-1999

XLIII OM - III - Zadanie 4

Ciąg funkcji $f_0, f_1, f_2, \ldots$ określony w następujący sposób:

$ f_0(x) = 8 \quad \text{ dla wszystkich } x\in \mathbb{R}, $

$ f_{n+1}(x) = \sqrt{x^2+6f_n(x)} \text{ dla } n = 0,1,2,\ldots \text{ oraz wszystkich } x\in \mathbb{R}. $

Dla każdej liczby naturalnej rozwiązać równanie

$ f_n(x) = 2x. $

Dodaj komentarz

XLIII OM - III - Zadanie 3

Udowodnić że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a_1, a_2, \ldots , a_r$ zachodzi nierówność

$ \sum_{n=1}^r\left(\sum_{m=1}^r \frac{a_ma_n}{m+n}\right) \geq 0. $

Rozstrzygnąć, dla jakich liczb $a_1, a_2, \ldots , a_r$ nierówność ta staje się równością.

XLIII OM - III - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie funkcje $f$ określone na zbiorze liczb wymiernych dodatnich, o wartościach w tym samym zbiorze, spełniające dla wszystkich dodatnich liczb wymiernych warunki

$ f(x+1) = f(x)+1 \quad \text{ oraz }\quad f(x^3) = (f(x))^3. $

XLIII OM - III - Zadanie 1

Odcinki $AC$ i $BD$ przecinają się w punkcie $P$ , przy czym $|PA|=|PD|$ , $|PB|=|PC|$ . Niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na trójkącie $PAB$ . Dowieść, że proste $OP$ i $CD$ są prostopadłe.

XLIII OM - II - Zadanie 6

Ciągi $(x_n)$ i $(y_n)$ są określone następująco:

$ x_{n+1} = \frac{x_n+2}{x_n+1},\quad y_{n+1}=\frac{y_n^2+2}{2y_n} \quad \text{ dla } n=0,1,2,\ldots. $

Dowieść, że dla każdej liczby całkowitej $n\geq 0$ zachodzi równość $y_n = x_{2^n-1}$ .

XLIII OM - II - Zadanie 5

Wyznaczyć kres górny obiętości kul zawartych w czworościanach o wszystkich wysokościach nie dłuższych niż $1$ .

Okręgi $k_1$ , $k_2$ , $k_3$ są styczne zewnętrznie: $k_1$ do $k_2$ w punkcie $A$ , $k_2$ do $k_3$ w punkcie $B$ , $k_3$ do $k_4$ w punkcie $C$ , $k_4$ do $k_1$ w punkcie $D$ . Proste $AB$ i $CD$ przecinają się w punkcie $S$ . Przez punkt $S$ poprowadzono prostą $p$ styczną do $k_4$ w punkcie $F$ . Wykazać, że $|SE|=|SF|$ .

XLIII OM - II - Zadanie 3

Przez środek ciężkości trójkąta ostrokątnego $ABC$ poprowadzono proste prostopadłe do boków $BC$ , $CA$ , $AB$ , przecinające je odpowiednio w punktach $P$ , $Q$ , $R$ . Wykazać że jeżeli $|BP|\cdot |CQ| \cdot |AR| = |PC| \cdot |QA| \cdot |RB|$ , to trójkąt $ABC$ jest równoramienny.

Uwaga: Zgodnie z twierdzeniem Cevy, dana w założeniu równość, iloczynów jest równoważna temu, że proste $AP$ , $BQ$ , $CR$ mają punkt wspólny.

XLIII OM - II - Zadanie 2

Dana jest liczba naturalna $n \geq 2$ . Niech $a_1, a_2, \ldots , a_n$ , $b_1, b_2, \ldots , b_n$ będą liczbami rzeczywistymi. Dowieść, że następujące warunki są równoważne:

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1 \leq x_2 \leq \ldots \leq x_n$

zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^n a_i x_i \leq \sum_{i=1}^n b_i x_i. $

Dla każdej liczby naturalnej $k\in \{1,2,\ldots, n-1\}$ zachodzi nierówność

$ \sum_{i=1}^k a_i \geq \sum_{i=1}^k b_i, \quad \text{ a ponadto} \quad \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n b_i. $

XLIII OM - II - Zadanie 1

Każdy wierzchołek pewnego wielokąta ma obie współrzędne całkowite; długość każdego boku tego wielokąta jest liczbą naturalną. Udowodnić, że obwód wielokąta jest liczbą parzystą.

Olimpiady Matematyczne