Olimpiada Matematyczna

XXII OM - I - Zadanie 4

Wyznaczyć kąty, jakie tworzy płaszczyzna przechodząca przez środki trzech skośnych krawędzi sześcianu ze ścianami sześcianu.

Przez punkt $P$ , należący do płaszczyzny trójkąta $ABC$ , poprowadzono trzy proste prostopadłe odpowiednio do prostych $BC$ , $AC$ i prostej zawierającej środkową $\overline{CE}$ . Udowodnić, że przetną one prostą zawierającą wysokość $CD$ odpowiednio w takich punktach $K, L, M$ , że $KM = LM$ .

XXII OM - I - Zadanie 2

Udowodnić, że dla każdych liczb dodatnich $p$ i $q$ spełniających warunek $p + q = 1$ zachodzi nierówność

$<br /> p \log p + q \log q \geq - \log 2.<br />$

XXII OM - I - Zadanie 1

Udowodnić twierdzenie: Współczynnik dwumianowy $\binom{n}{k}$ ma przy każdym naturalnym $k < n$ ten sam czynnik wspólny z $n$ większy od jedności wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest potęgą liczby pierwszej.

XXIII OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że suma cyfr liczby $1972^n$ dąży do nieskończoności, gdy $n$ dąży do nieskończoności.

XXIII OM - III - Zadanie 5

Udowodnić, że wszystkie podzbiory zbioru skończonego można ustawić w ciąg, którego kolejne wyrazy różnią się jednym elementem.

XXIII OM - III - Zadanie 4

Na prostej nie mającej punktów wspólnych z kulą $K$ dane są punkty $A$ i $B$ . Rzut prostokątny $P$ środka kuli $K$ na prostą $AB$ lezy między punktami $A$ i $B$ , przy czym $AP$ i $BP$ są większe od promienia kuli. Rozpatrujemy zbiór $Z$ trójkątów $ABC$ , których boki $\overline{AC}$ i $\overline{BC}$ są styczne do kuli $K$ . Udowodnić, że $T$ jest trójkątem o największym obwodzie spośród trójkątów zbioru $Z$ wtedy i tylko wtedy, gdy $T$ jest trójkątem o największym polu spośród trójkątów zbioru $Z$ .