Olimpiada Matematyczna

XXIII OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że istnieje funkcja $f$ określona i różniczkowalna w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych, spełniająca warunki

$ \begin{split} |f'(x) - f'(y)| \leq 4|x-y| \end{split} $

XXIII OM - II - Zadanie 5

Udowodnić, że w czworokącie wypukłym wpisanym w koło proste przechodzące przez środki boków i prostopadłe do boków przeciwległych przecinają się w jednym punkcie.

Sześcian o krawędzi długości $n$ podzielono płaszczyznami równoległymi do jego ścian na $n^3$ sześcianów jednostkowych. Ile istnieje par złożonych z takich sześcianów jednostkowych, które mają nie więcej niż dwa wierzchołki wspólne?

XXIII OM - II - Zadanie 3

Współrzędne wierzchołków trójkąta w układzie kartezjańskim $XOY$ są liczbami całkowitymi. Dowieść, że średnica koła opisanego na tym trójkącie jest nie większa od iloczynu długości boków trójkąta.

XXIII OM - II - Zadanie 2

W prostokącie o bokach długości 20 i 25 umieszczono 120 kwadratów o boku długości 1. Dowieść, że istnieje koło o średnicy 1 zawarte w tym prostokącie i nie mające punktów wspólnych z żadnym z tych kwadratów.

XXIII OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że nie istnieją takie liczby rzeczywiste $a, b, c$ , $x_1, x_2, x_3$ , że dla każdej liczby rzeczywistej $x$

$ \begin{split} ax^2 + bx + c &= a(x - x_2)(x - x_3), \\ (1) \qquad bx^2 + cx + a &= b(x - x_3) (x - x_1),\\ cx^2 + ax + b &= c(x - x_1) (x - x_2) \end{split} $