Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXIII OM - I - Zadanie 8

Na płaszczyźnie dane są dwa przystające trójkąty równoboczne $ ABC $ i $ A'B'C' $. Udowodnić, że jeżeli środki odcinków $ \overline{AA'} $, $ \overline{BB'} $, $ \overline{CC'} $ nie są współliniowe, to są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

XXIII OM - I - Zadanie 7

Łamana zawarta w kwadracie o boku długości 50 ma tę własność, że odległość dowolnego punktu tego kwadratu od niej jest mniejsza od 1 Udowodnić, że długość tej łamanej jest większa od 1248.

XXIII OM - I - Zadanie 6

Zbadać, dla jakich cyfr $ a $ zapis w układzie dziesiętnym pewnej liczby $ \frac{n(n+1)}{2} $ ($ n\in \mathbb{N} $) składa się z samych cyfr $ a $.

XXIII OM - I - Zadanie 5

Ciąg wielomianów $ P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots $ jest określony wzorami $ P_0(x) = 2 $, $ P_1(x) = x $,

\[<br /> (1)\qquad P_{n+1}(x) = x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x) \quad (n=1, 2, \ldots).<br /> \]

Wykazać istnienie takich liczb rzeczywistych $ a, b, c $, że dla każdej liczby naturalnej $ n $ zachodzi równość

\[<br /> (2)\qquad (x^2 - 4) (P_n^2(x) - 4) = (a \cdot P_{n+1}(x) + b \cdot P_n(x) + c \cdot P_{n-1}(x))^2.<br /> \]

XXIII OM - I - Zadanie 4

Punkty $ A $ i $ B $ nie należą do płaszczyzny $ \pi $. Znaleźć zbiór wszystkich punktów $ M\in \pi $ o tej własności, że proste $ AM $ i $ BM $ tworzą z płaszczyzną $ \pi $ równe kąty.

XXIII OM - I - Zadanie 3

Udowodnić, że jeżeli $ A, B, C $ są kątami trójkąta, zaś $ t $ - liczbą rzeczywistą, to

\[<br /> \cos A + t (\cos B + \cos C) \leq 1 + \frac{t^2}{2} .<br /> \]

XXIII OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby pierwszej $ p $ wyznaczyć wszystkie takie ułamki nieskracalne $ \frac{a}{b}>0 $, że

\[<br /> \frac{a+p}{b+p} - \frac{a}{b} = \frac{1}{p^2}.<br /> \]

XXIV OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że dla dowolnego wielokąta wypukłego mającego środek symetrii istnieje co najwyżej jedna elipsa o najmniejszym polu zawierająca dany wielokąt.
Uwaga. Pole elipsy o półosiach długości $ a $ i $ b $ wyraża się wzorem $ \pi ab $.

XXIV OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że każdy dodatni ułamek właściwy $ \frac{m}{n} $ można przedstawić w postaci skończonej sumy odwrotności różnych liczb naturalnych.

Subskrybuje zawartość