Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXIV OM - III - Zadanie 4

Na prostej dany jest układ odcinków o łącznej długości $ < 1 $. Dowieść, że dowolny układ $ n $ punktów prostej można przesunąć na niej o wektor długości $ \leq \frac{n}{2} $ tak, aby po przesunięciu żaden z punktów nie leżał na żadnym z danych odcinków.

XXIV OM - III - Zadanie 3

Wielościan $ W $ ma następujące własności:
a) posiada środek symetrii,
b) część wspólna wielościanu W z dowolną płaszczyzną zawierającą środek symetrii i którąkolwiek krawędź wielościanu jest równoległobokiem,
c) istnieje wierzchołek wielościanu $ W $, który należy do dokładnie trzech krawędzi.
Dowieść, że wielościan $ W $ jest równoległościanem.

XXIV OM - III - Zadanie 2

Niech $ p_n $ będzie prawdopodobieństwem, że w ciągu $ n $ rzutów monetą pojawi się seria kolejnych 100 orłów. Dowieść, że ciąg liczb $ p_n $ jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

XXIV OM - III - Zadanie 1

Udowodnić, że każdy wielomian jest różnicą dwóch wielomianów rosnących.

XXIV OM - II - Zadanie 6

Udowodnić, że dla każdej liczby całkowitej nieujemnej $ m $ istnieje taki wielomian w o współczynnikach całkowitych, że $ 2^m $ jest największym wspólnym dzielnikiem liczb

\[<br /> a_n = 3^n + w(n), n = 0, 1, 2, \ldots .<br /> \]

XXIV OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w czworościanie $ ABCD $ mamy $ AB = CD $, $ AC = BD $, $ AD = BC $, to wszystkie ściany czworościanu są trójkątami ostrokątnymi.

XXIV OM - II - Zadanie 4

Niech $ x_n = (p + \sqrt{q})^n - [(p + \sqrt{q})^n] $ dla $ n = 1, 2, 3, \ldots $. Dowieść, że jeżeli $ p $, $ q $ są liczbami naturalnymi spełniającymi warunek $ p - 1 < \sqrt{q} < p $, to $ \lim_{n\to \infty} x_n = 1 $.
Uwaga. Symbol $ [a] $ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $ a $.

XXIV OM - II - Zadanie 3

Niech $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $ będzie funkcją rosnącą spełniającą warunki:
1. $ f(x+1) = f(x) + 1 $ dla każdego $ x \in \mathbb{R} $,
2. istnieje taka liczba całkowita p, że $ f(f(f(O))) = p $. Dowieść, że dla każdej liczby rzeczywistej $ x $

\[<br /> \lim_{n\to \infty} \frac{x_n}{n} = \frac{p}{3}.<br /> \]

gdzie $ x_1 = x $ oraz $ x_n =f(x_{n-1}) $ dla $ n = 2, 3, \ldots $.

XXIV OM - II - Zadanie 2

W kwadracie danych jest dziewięć punktów, z których, żadne trzy nie są współliniowe. Dowieść, że trzy spośród nich są wierzchołkami trójkąta o polu nie przekraczającym $ \frac{1}{8} $ pola kwadratu.

XXIV OM - II - Zadanie 1

Udowodnić, że jeżeli liczby dodatnie $ x, y, z $ spełniają nierówność

\[<br /> \frac{x^2+y^2-z^2}{2xy} + \frac{y^2+z^2-x^2}{2yz} + \frac{z^2+x^2-y^2}{2xz} > 1,<br /> \]

to są one długościami boków pewnego trójkąta.

Subskrybuje zawartość