Olimpiada Matematyczna

XXIV OM - I - Zadanie 12

W klasie, w której jest n uczniów, urządzono mikołajki. Każdy uczeń losuje nazwisko osoby, której ma kupić prezent, zatem uczeń $A_1$ kupuje prezent uczniowi $A_2$ , $A_2$ kupuje prezent $A_3$ , ..., $A_k$ kupuje prezent $A_1$ , gdzie $1 \leq k \leq n$ . Zakładając, że wszystkie wyniki losowań są jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo tego, że $k = n$ .

XXIV OM - I - Zadanie 11

Udowodnić, że jeżeli środek kuli opisanej na czworościanie pokrywa się ze środkiem kuli wpisanej w ten czworościan, to ściany tego czworościanu są przystające.

XXIV OM - I - Zadanie 10

Znaleźć najmniejszą liczbę naturalną $n > 1$ o następującej własności: istnieje taki zbiór $Z$ złożony z $n$ punktów płaszczyzny, że każda prosta $AB$ ( $A, B\in Z$ ) jest równoległa do pewnej innej prostej $CD$ ( $C, D \in Z$ ).

XXIV OM - I - Zadanie 9

Liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots, x_n$ spełniają warunki:

$ |x_i|=1 \quad (i = \, 2, \ldots, n), $

$ x_1x_2+ x_2x_3 + \ldots +x_{n-1}x_n + x_nx_1 = 0. $

Udowodnić, że liczba $n$ jest podzielna przez 4.

XXIV OM - I - Zadanie 8

Znaleźć wielomian o współczynnikach całkowitych najniższego możliwego stopnia, którego pierwiastkiem jest $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ .

XXIV OM - I - Zadanie 7

Udowodnić, że wśród pięciu odcinków leżących na jednej prostej są trzy odcinki mające punkt wspólny lub trzy odcinki parami rozłączne.

XXIV OM - I - Zadanie 6

Dowieść następującego twierdzenia: Cztery wysokości czworościanu $ABCD$ przecinają się w jednym punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy $AB^2 + CD^2 = BC^2 + AD^2 = CA^2 + BD^2$ .

XXIV OM - I - Zadanie 5

Liczby rzeczywiste $x_1, x_2, \ldots, x_n$ spełniają równanie

$ x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0, $

niech $m$ będzie najmniejszą, zaś $M$ - największą z tych liczb. Dowieść, że $x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2 \leq -nmM$ i określić, kiedy zachodzi równość.

XXIV OM - I - Zadanie 4

W czworościanie $ABCD$ na, prostej łączącej środki krawędzie $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$ obrano dowolny punkt $P$ nie leżący na tych krawędziach. Udowodnić, że proste $PA$ , $PB$ , $PC$ , $PD$ przecinają płaszczyznę równoległą do krawędzi $AB$ i $CD$ w punktach będących wierzchołkami równoległoboku.

XXIV OM - I - Zadanie 3

Niech $w(x)$ będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych. Udowodnić, że jeżeli liczba naturalna $d$ jest dzielnikiem każdej z liczb $a_n = 3^n + w(n)$ , gdzie $n = 0, 1, 2, \ldots$ , to $d$ jest potęgą liczby 2 o wykładniku całkowitym.

Olimpiady Matematyczne