Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXV OM - III - Zadanie 2

Łososie płynąc w górę rzeki muszą pokonać dwa wodospady. Prawdopodobieństwo, że łosoś pokona pierwszy wodospad w danej próbie, wynosi $ p > 0 $, a prawdopodobieństwo pokonania drugiego wodospadu w danej próbie wynosi $ q > 0 $. Zakładamy, że kolejne próby forsowania wodospadów są niezależne. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, ze łosoś nie przebędzie pierwszego wodospadu w $ n $ próbach pod warunkiem, że w $ n $ próbach nie pokona obu wodospadów.

XXV OM - III - Zadanie 1

W czworościanie $ ABCD $ krawędź $ \overline{AB} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $ i $ \measuredangle ACB = \measuredangle ADB $. Udowodnić, że płaszczyzna wyznaczona przez krawędź $ \overline{AB} $ i środek krawędzi $ \overline{CD} $ jest prostopadła do krawędzi $ \overline{CD} $.

XXV OM - II - Zadanie 6

Dany jest ciąg liczb całkowitych $ a_1, a_2, \ldots, a_{2n+1} $ o następującej własności: po odrzuceniu dowolnego wyrazu pozostałe można podzielić na takie dwie grupy po $ n $ wyrazów, że suma wyrazów w pierwszej grupie równa jest sumie wyrazów w drugiej. Dowieść, że wszystkie wyrazy ciągu są równe.

XXV OM - II - Zadanie 5

Dane są liczby rzeczywiste $ q,t \in \langle \frac{1}{2}; 1) $, $ t \in (0; 1 \rangle $. Udowodnić, że istnieje taki rosnący ciąg liczb naturalnych $ {n_k} $ ($ k = 1,2, \ldots $), że

\[<br /> t = \lim_{N\to \infty} \sum_{j=1}^N q^{n_j}.<br /> \]

XXV OM - II - Zadanie 4

W czworokącie wypukłym $ ABCD $ o polu $ S $ każdy z boków podzielono na 3 równe części i poprowadzono odcinki łączące odpowiednie punkty podziału przeciwległych boków w ten sposób, że czworokąt został podzielony na 9 czworokątów. Dowieść, że suma pól następujących trzech czworokątów powstałych z podziału: zawierającego wierzchołek $ A $, środkowego i zawierającego wierzchołek $ C $ równa jest $ \frac{S}{3} $.

XXV OM - II - Zadanie 3

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $ D $ czworościanu $ ABCD $ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $ \overline{AB} $, $ \overline{BC} $ i $ \overline{CA} $ należą do jednej płaszczyzny.

XXV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $ n = 2, 3, \ldots $ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $, $ s_1, s_2, \ldots, s_n $, jeżeli

\[<br /> \sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0.<br /> \]

XXV OM - II - Zadanie 1

Niech $ Z $ będzie zbiorem $ n $-elementowym. Znaleźć liczbę takich par zbiorów $ (A, B) $, że $ A $ zawiera się w $ B $ i $ B $ zawiera się w $ Z $. Przyjmujemy, że każdy zbiór zawiera także siebie i zbiór pusty.

XXV OM - III - Zadanie 3

Niech $ r $ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że trójmian $ x^2 - rx - 1 $ nie jest dzielnikiem żadnego wielomianu $ p(x) \neq 0 $ o współczynnikach całkowitych, mniejszych co do wartości bezwzględnej od $ r $.

XXV - I - Zadanie 12

Dowieść, że w dowolnym kącie trójściennym, w którym co najwyżej jeden kąt płaski jest prosty, trzy proste prostopadłe w wierzchołku kąta trójściennego do jego krawędzi i zawarte w płaszczyznach ścian przeciwległych do tych krawędzi są zawarte w jednej płaszczyźnie.

Subskrybuje zawartość