Olimpiada Matematyczna

Olimpiada Matematyczna

XXV OM - II - Zadanie 3

Udowodnić, że rzuty prostokątne wierzchołka $ D $ czworościanu $ ABCD $ na płaszczyzny dwusieczne kątów dwuściennych wewnętrznych i zewnętrznych przy krawędziach $ \overline{AB} $, $ \overline{BC} $ i $ \overline{CA} $ należą do jednej płaszczyzny.

XXV OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $ n = 2, 3, \ldots $ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $, $ s_1, s_2, \ldots, s_n $, jeżeli

\[<br /> \sum_{i=1}^n t_i = 0, \text{ to } \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n t_it_j |s_i-s_j| \leq 0.<br /> \]

XXV OM - II - Zadanie 1

Niech $ Z $ będzie zbiorem $ n $-elementowym. Znaleźć liczbę takich par zbiorów $ (A, B) $, że $ A $ zawiera się w $ B $ i $ B $ zawiera się w $ Z $. Przyjmujemy, że każdy zbiór zawiera także siebie i zbiór pusty.

XXV OM - III - Zadanie 3

Niech $ r $ będzie liczbą naturalną. Dowieść, że trójmian $ x^2 - rx - 1 $ nie jest dzielnikiem żadnego wielomianu $ p(x) \neq 0 $ o współczynnikach całkowitych, mniejszych co do wartości bezwzględnej od $ r $.

XXV - I - Zadanie 12

Dowieść, że w dowolnym kącie trójściennym, w którym co najwyżej jeden kąt płaski jest prosty, trzy proste prostopadłe w wierzchołku kąta trójściennego do jego krawędzi i zawarte w płaszczyznach ścian przeciwległych do tych krawędzi są zawarte w jednej płaszczyźnie.

XXV - I - Zadanie 11

Niech $ X_n $ i $ Y_n $ bądą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie $ \left{ \left(\frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n}\right) : k = 0, 1, \ldots, 2^n-1\right} $. Oznaczmy przez $ p_n $ prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista $ t $ spełniająca równanie $ t^2 + X_n \cdot t + Y_n = 0 $. Obliczyć $ \lim_{n\to\infty} p_n $.

XXV - I - Zadanie 10

Każda przekątna pewnego pięciokąta wypukłego odcina od niego trójkąt o polu 1. Obliczyć pole tego pięciokąta.

XXV - I - Zadanie 9

Zbiór dokumentów rozdzielono na $ n $ części dając je do przechowania $ n $ osobom, z których każda posiada telefon. Dowieść, że dla $ n \geq 4 $ wystarczy $ 2n - 4 $ rozmów telefonicznych, aby po ich przeprowadzeniu każda z $ n $ osób znała treść wszystkich dokumentów.

XXV - I - Zadanie 8

Dany jest wielościan wypukły i punkt $ A $ w jego wnętrzu. Udowodnić, że istnieje taka ściana $ S $ tego wielościanu, że rzut prostokątny punktu $ A $ na jej płaszczyznę należy do $ S $.

XXV - I - Zadanie 7

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie ostrokątnym każdą wysokość można za pomocą ruchu sztywnego przenieść wewnątrz trójkąta tak, aby jej spodek zajął miejsce wierzchołka, a wierzchołek miejsce spodka, to trójkąt jest równoboczny.

Subskrybuje zawartość