Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXV - I - Zadanie 11

Niech $ X_n $ i $ Y_n $ bądą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie $ \left{ \left(\frac{k}{2^n}, \frac{1}{2^n}\right) : k = 0, 1, \ldots, 2^n-1\right} $. Oznaczmy przez $ p_n $ prawdopodobieństwo zdarzenia, że istnieje liczba rzeczywista $ t $ spełniająca równanie $ t^2 + X_n \cdot t + Y_n = 0 $. Obliczyć $ \lim_{n\to\infty} p_n $.

XXV - I - Zadanie 10

Każda przekątna pewnego pięciokąta wypukłego odcina od niego trójkąt o polu 1. Obliczyć pole tego pięciokąta.

XXV - I - Zadanie 9

Zbiór dokumentów rozdzielono na $ n $ części dając je do przechowania $ n $ osobom, z których każda posiada telefon. Dowieść, że dla $ n \geq 4 $ wystarczy $ 2n - 4 $ rozmów telefonicznych, aby po ich przeprowadzeniu każda z $ n $ osób znała treść wszystkich dokumentów.

XXV - I - Zadanie 8

Dany jest wielościan wypukły i punkt $ A $ w jego wnętrzu. Udowodnić, że istnieje taka ściana $ S $ tego wielościanu, że rzut prostokątny punktu $ A $ na jej płaszczyznę należy do $ S $.

XXV - I - Zadanie 7

Udowodnić, że jeżeli w trójkącie ostrokątnym każdą wysokość można za pomocą ruchu sztywnego przenieść wewnątrz trójkąta tak, aby jej spodek zajął miejsce wierzchołka, a wierzchołek miejsce spodka, to trójkąt jest równoboczny.

XXV - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $ a, b, c $ pewna, wartość funkcji $ f(x) = |a \sin x + b \sin 2x + c sin 4x| $ jest nie mniejsza od $ \frac{1}{2}(|a| + |b| + |c|) $.

XXV - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla każdego $ k $, $ k $-te od końca cyfry w układzie dziesiętnym liczb $ 5, 5^2, 5^3, \ldots $ tworzą od pewnego miejsca ciąg okresowy.

XXV - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeśli $ x_1, \ldots, x_n $ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $ \sum_{i=1}^n x_i = 0 $, to dla dowolnych liczb rzeczywistych $ t_1, t_2, \ldots, t_n $ prawdziwa jest nierówność

\[<br /> \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i-t_j)^2 x_ix_j<br /> \]

XXV - I - Zadanie 3

Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez proste zawierające przeciwległe boki czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg są odpowiednio równoległe do dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające przekątne tego czworokąta.

Subskrybuje zawartość