Olimpiada Matematyczna

XXV - I - Zadanie 6

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a, b, c$ pewna, wartość funkcji $f(x) = |a \sin x + b \sin 2x + c sin 4x|$ jest nie mniejsza od $\frac{1}{2}(|a| + |b| + |c|)$ .

XXV - I - Zadanie 5

Dowieść, że dla każdego $k$ , $k$ -te od końca cyfry w układzie dziesiętnym liczb $5, 5^2, 5^3, \ldots$ tworzą od pewnego miejsca ciąg okresowy.

XXV - I - Zadanie 4

Dowieść, że jeśli $x_1, \ldots, x_n$ są takimi liczbami rzeczywistymi, że $\sum_{i=1}^n x_i = 0$ , to dla dowolnych liczb rzeczywistych $t_1, t_2, \ldots, t_n$ prawdziwa jest nierówność

$ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n (t_i-t_j)^2 x_ix_j $

Udowodnić, że dwusieczne kątów utworzonych przez proste zawierające przeciwległe boki czworokąta wypukłego wpisanego w okrąg są odpowiednio równoległe do dwusiecznych kątów utworzonych przez proste zawierające przekątne tego czworokąta.

XXV - I - Zadanie 2

Dowieść, że dla każdego $m$ naturalnego

$ \frac{(2m+1)2m(2m-1)\ldots (m+2)}{m!} < 2^{2m} $

XXV - I - Zadanie 1

W czasie pierwszej wojny światowej toczyła się bitwa w pobliżu pewnego zamku. Jeden z pocisków rozbił stojącą u wejścia do zamku statuą rycerza z piką w ręku. Stało się to ostatniego dnia miesiąca. Iloczyn daty dnia, numeru miesiąca, wyrażonej w stopach długości piki, połowy wyrażonego w latach wieku dowódcy baterii strzelającej do zamku oraz połowy wyrażonego w latach czasu, jaki stała statua, równa sią 451 066. W którym roku postawiono statuę?