Olimpiada Matematyczna

XXVI - III - Zadanie 2

Na powierzchni czworościanu foremnego o krawędzi długości 1 wybrano skończony zbiór odcinków w taki sposób, że każde dwa wierzchołki czworościanu można połączyć łamaną złożoną z pewnych spośród tych odcinków. Czy można wybrać ten zbiór odcinków tak, aby ich łączna długość była mniejsza niż $1 + \sqrt{3}$ ?

XXVI - III - Zadanie 1

Ciąg liczb rzeczywistych ${a_k}_{k=1}^{\infty}$ spełnia następujący warunek:
Istnieje liczba naturalna $n$ taka, że $a_1 + a_2 + \ldots + a_n = 0$ i $a_{n+k} = a_k$ dla $k = 1, 2, \ldots$ .
Dowieść, że istnieje taka liczba naturalna $N$ , że $\sum_{i=N}^{N+k}$ dla $k = 0$ , $1, 2, \ldots$ .

XXVI - II - Zadanie 6

Niech $f(x)$ i $g(x)$ będą wielomianami o współczynnikach całkowitych. Dowieść, że jeżeli dla każdej wartości całkowitej $n$ liczba $g(n)$ dzieli się przez liczbę $f(n)$ , to $g(x) = f(x)\cdot h(x)$ , gdzie $h(x)$ jest wielomianem,. Pokazać na przykładzie, że współczynniki wielomianu $h(x)$ nie muszą być całkowite.

XXVI - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli w wielościan wypukły można wpisać kulę i każdą ścianę tego wielościanu można pomalować na jeden z dwóch kolorów tak, że każde dwie ściany mające wspólną krawędź są różnych kolorów, to suma pól ścian jednego koloru jest równa sumie pól ścian drugiego koloru.

XXVI - II - Zadanie 4

Dowieść, że na to, aby liczby nieujemne $a_1, a_2, \ldots, a_n$ ( $n = 1, 2, \ldots$ ) spełniały dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ nierówność

$<br /> \left( \sum_{i=1}^n a_i x_i^2 \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n a_i x_i^4.<br />$

potrzeba i wystarcza, aby $\sum_{i=1}^n a_i \leq 1$ .

XXVI - II - Zadanie 3

W pewnej rodzinie mąż i żona zawarli następującą umowę: Jeżeli któregoś dnia zmywa naczynia żona, to następnego dnia zmywa naczynia mąż. Jeżeli natomiast pewnego dnia zmywa naczynia mąż, to o tym, kto zmywa naczynia następnego dnia, decyduje losowanie za pomocą rzutu monetą. Niech $p_n$ oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że $n$ -tego dnia trwania umowy zmywa naczynia mąż. Dowieść, że istnieje granica $\lim_{n\to \infty} p_n$ i obliczyć ją. Przyjmujemy $p_1 = \frac{1}{2}$ .

XXVI - II - Zadanie 2

W czworokącie wypukłym $ABCD$ na, bokach przyległych $\overline{AB}$ i $\overline{BC}$ obrano odpowiednie punkty $M$ i $N$ oraz oznaczono przez 0 punkt przecięcia odcinków $AN$ i $GM$ . Dowieść, że jeżeli w czworokąty $AOCD$ oraz $BMON$ można wpisać koła, to w czworokąt $ABCD$ też można wpisać koło.

XXVI - II - Zadanie 1

Dany jest wielomian $W(x) = x^4 + ax^3 + bx + cx + d$ . Dowieść, że jeżeli równanie $W(x) = 0$ ma cztery pierwiastki rzeczywiste, to na to, żeby istniało $m$ takie, że $W(x+m) = x^4+px^2+q$ , potrzeba i wystarcza, aby suma pewnych dwóch pierwiastków równania $W(x) = 0$ równała się sumie pozostałych.

XXVI - I - Zadanie 12

W przestrzeni dany jest sześcian o boku $a$ , i kule $B_1, B_2, \ldots, B_n$ o dowolnych promieniach takie, że każdy punkt sześcianu należy do którejś z kul. Udowodnić, że spośród tych kul można wybrać parami rozłączne kule takie, że suma ich objętości jest nie mniejsza od $\left(\frac{a}{5}\right)^3$ .

XXVI - I - Zadanie 11

Statek porusza się ze stałą prędkością po prostej o kierunku wschód-zachód. Co $T$ minut losuje się kierunek poruszania: z prawdopodobieństwem $p$ statek porusza się w ciągu następnych $T$ minut w kierunku wschodnim, z prawdopodobieństwem $q= 1-p$ porusza się w kierunku zachodnim. W punkcie poza prostą znajduje się łódź podwodna, której zadaniem jest storpedowanie statku. Czas drogi torpedy od punktu wystrzelenia do dowolnego punktu toru statku wynosi $2T$ . Kapitan łodzi podwodnej zna wartość $p$ i celuje tak, aby prawdopodobieństwo trafienia statku było największe. Jak należy dobrać $p$ , aby prawdopodobieństwo storpedowania statku było najmniejsze ?

Olimpiady Matematyczne