1970-1979

XXIII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że

$ 2\sin \left( 1 + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) \frac{\pi}{4} = \underbrace{\sqrt{2 + \sqrt{ 2 + \ldots + \sqrt{2}}}}_{n \ \textrm{pierwiastków}} $

XXIII OM - I - Zadanie 11

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie

$ 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 = y^2. $

XXIII OM - I - Zadanie 10

Danych jest sześć punktów w przestrzeni, nie wszystkie w jednej płaszczyźnie. Dowieść, że wśród prostych wyznaczonych przez te punkty jest prosta nierównolegla do żadnej z pozostałych.

XXIII OM - I - Zadanie 9

Ile liczb naturalnych mniejszych od $10^n$ ma zapis dziesiętny, którego cyfry tworzą ciąg niemalejący?

Na płaszczyźnie dane są dwa przystające trójkąty równoboczne $ABC$ i $A'B'C'$ . Udowodnić, że jeżeli środki odcinków $\overline{AA'}$ , $\overline{BB'}$ , $\overline{CC'}$ nie są współliniowe, to są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

XXIII OM - I - Zadanie 7

Łamana zawarta w kwadracie o boku długości 50 ma tę własność, że odległość dowolnego punktu tego kwadratu od niej jest mniejsza od 1 Udowodnić, że długość tej łamanej jest większa od 1248.

XXIII OM - I - Zadanie 6

Zbadać, dla jakich cyfr $a$ zapis w układzie dziesiętnym pewnej liczby $\frac{n(n+1)}{2}$ ( $n\in \mathbb{N}$ ) składa się z samych cyfr $a$ .

XXIII OM - I - Zadanie 5

Ciąg wielomianów $P_0(x), P_1(x), P_2(x), \ldots$ jest określony wzorami $P_0(x) = 2$ , $P_1(x) = x$ ,

$ (1)\qquad P_{n+1}(x) = x\cdot P_n(x) - P_{n-1}(x) \quad (n=1, 2, \ldots). $

Wykazać istnienie takich liczb rzeczywistych $a, b, c$ , że dla każdej liczby naturalnej $n$ zachodzi równość

$ (2)\qquad (x^2 - 4) (P_n^2(x) - 4) = (a \cdot P_{n+1}(x) + b \cdot P_n(x) + c \cdot P_{n-1}(x))^2. $

XXIII OM - I - Zadanie 4

Punkty $A$ i $B$ nie należą do płaszczyzny $\pi$ . Znaleźć zbiór wszystkich punktów $M\in \pi$ o tej własności, że proste $AM$ i $BM$ tworzą z płaszczyzną $\pi$ równe kąty.