1960-1969

XIII OM - I - Zadanie 12

Z punktu $A$ okręgu $k$ poprowadzono odcinek $AB$ prostopadły do płaszczyzny okręgu. Znaleźć miejsce geometryczne rzutu prostokątnego punktu $A$ na prostą przechodzącą przez punkt $B$ i przez punkt $M$ poruszający się po okręgu $k$ .

XIII OM - I - Zadanie 11

Dany jest czworokąt $ABCD$ , którego przekątne przecinają się pod kątem prostym w punkcie $M$ . Udowodnić, że $8$ punktów, w których prostopadle poprowadzone z punktu $M$ do prostych $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ przecinają boki czworokąta, leży na okręgu.

XIII OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że jeżeli

$ (1) \qquad \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C=1 $

i $A$ , $B$ , $C$ są kątami ostrymi, to

$ (2) \qquad A + B + C < 180^\circ. $

XIII OM - I - Zadanie 9

Rozwiązać układ równań

$ (1) \qquad \left\{ \begin{array}{c} x (x + y + z)^2 = a^4 (yz)^3\\ y (x + y + z)^2 = b^4 (zx)^3\\ z (x + y + z)^2 = c^4 (xy)^3. \end{array}\right. $

XIII OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworokąt skośny $ABCD$ i płaszczyzna przecinająca proste $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ , $Q$ różnych od $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Dowieść, że

$ \frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} = 1. $

XIII OM - I - Zadanie 7

Dane są na płaszczyźnie odcinki $AB$ i $CD$ . Znaleźć na tejże płaszczyźnie taki punkt $M$ , żeby trójkąty $AMB$ i $CMD$ były podobne, a przy tym kąt $AMB$ był równy kątowi $CMD$ .