Ciągi

XXXVI OM - I - Zadanie 8

Udowodnić, że jeśli $(a_n)$ jest takim ciągiem liczb rzeczywistych, że $a_{n+2}=|a_{n+1}|-a_n$ dla $n = 1,2,\ldots$ , to $a_{k+9} = a_k$ dla $k = 1,2,\ldots$ .

XXXVI OM - I - Zadanie 5

Dane są ciągi nieskończone liczb rzeczywistych $(x_j)$ , $(y_j)$ . Niech

$ z_n = \frac{x_1y_n + x_2y_{n-1} + \ldots x_ny_1}{n} \quad\text{ dla } n=1,2,\ldots . $

Udowodnić, że jeżeli dla pewnej liczby naturalnej $m$ zachodzi $z_j = 0$ dla $j < m$ oraz $z_m = 1$ , to istnieją takie liczby naturalne $p, q$ , że $x_py_q = m$ .

XXXVII OM - I - Zadanie 10

Udowodnić, że ciąg $(\sin n)$ nie ma granicy.

XXXVII OM - I - Zadanie 1

Niech liczby naturalne $a_n$ i $b_n$ spełniają równość

$ a_n+b_n\sqrt{3} = (2+\sqrt{3})^n. $

Obliczyć $\lim_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ .

Ciąg $(a_n)$ określony Jest warunkami $a_1 = a_2 = a_3 = 1$ , $a_{n+1} = a_{n+2}a__{n+1}+a_n$ ( $n \geq 1$ ). Wykazać, że dla każdej liczby naturalnej $r$ istnieje taka liczba $s$ , że $a_s$ jest podzielne przez $r$ .

XXXIX OM - I - Zadanie 11

Dany jest ciąg określony wzorami $a_0 = 0$ , $a_1 = 1$ , $a_2 = 2$ , $a_3 = 6$ , $a_{n+4} = 2a_{n+3} + a_{n+2} - 2 a_{n+1} - a_n$ dla $n > 0$ . Udowodnić, że $a_n$ jest liczbą podzielną przez $n$ .

Czytaj dalej

XL OM - II - Zadanie 5

Dany jest ciąg $(c_n)$ liczb naturalnych określony rekurencyjnie: $c_1 = 2$ , $c_{n+1} = \left[ \frac{3}{2}c_n\right]$ . Udowodnić, że wśród wyrazów tego ciągu jest nieskończenie wiele liczb parzystych i nieskończenie wiele liczb nieparzystych.

XL OM - I - Zadanie 8

Dana jest liczba naturalna $n$ oraz skończony ciąg liczb rzeczywistych $A^{(1)}= (a_1^{(1)}, a_2^{(1)}, \ldots, a_n^{(1)})$ . Dla każdej liczby naturalnej $m$ wybieramy dwie liczby naturalne $i$ , $j$ spełniające warunek $1 \leq i < j \leq n$ i określamy ciąg $A^{(m+1)}= (a_1^{(m+1)}, a_2^{(m+1)}, \ldots, a_n^{(m+1)})$ , jak następuje:

$ \begin{split} a_i^{(m+1)} &= a_j^{(m+1)} = \frac{1}{2}(a_i^{(m)} + a_j^{(m)}),\\ a_k^{(m+1)} = a_k^{(m)} \quad\text{dla}\quad k\neq i, j. \end{split} $

Udowodnić, że jeżeli każda para liczb naturalnych $(i,j)$ należących do przedziału $\langle 1;n\rangle$ będzie wybrana nieskończenie wiele razy, to

$ \lim_{n\to \infty} a_k^{(m)} = \frac{1}{n}(a_1^{(1)} + \ldots + a_n^{(1)}) $

dla $k = 1,2,\ldots, n$ .

XLI OM - III - Zadanie 5

Dany jest taki ciąg liczb naturalnych $(a_n)$ , że $\lim_{n\to \infty} \frac{n}{a_n} = 0$ .

Udowodnić, że istnieje taka liczba $k$ , dla której między liczbami $a_1 + a_2 + \ldots + a_k$ oraz $a_1 + a_2 + \ldots + a_k + a_{k+1}$ znajduje się co najmniej 1990 kwadratów liczb naturalnych.