Ciągi, Funkcje i ich własności, Kombinatoryka i logika, Liczby całkowite, Liczby rzeczywiste, Nierówności, Planimetria, Rachunek prawdopodobieństwa, Równania funkcyjne, Równania wielomianowe, Stereometria, Wielomiany

IV OM - I - Zadanie 10

Dane są dwie proste skośne $ m $ i $ n $. Na prostej $ m $ odmierzono odcinek $ AB $ o danej długości $ a $, a na prostej $ n $ odmierzono odcinek $ CD $ o danej długości $ b $. Dowieść, że objętość czworościanu $ ABCD $ nie zależy od położenia odcinków $ AB $ i $ CD $ na prostych $ m $ i $ n $.

IV OM - I - Zadanie 8

Przez punkt $ M $ dany na przedłużeniu boku $ AB $ trójkąta $ ABC $ poprowadzić prostą przecinającą boki $ AC $ i $ BC $ w punktach $ N $ i $ P $ w taki sposób, żeby odcinki $ AN $ i $ BP $ były równe.

IV OM - I - Zadanie 7

Dowieść, że gdy $ n $ jest liczbą całkowitą wiekszą od $ 2 $, to

\[<br /> 2^{\frac{1}{2}n(n-1)} > n!.<br /> \]

IV OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli figura płaska ma dwie i tylko dwie osie symetrii, to te osie są prostopadłe.

IV OM - I - Zadanie 5

W trapezie $ ABCD $ przez punkt przecięcia $ S $ przekątnych poprowadzono prostą równoległą da podstaw $ AB $ i $ DC $ trapezu, która przecina boki $ AD $ i $ BC $ w punktach $ M $ i $ N $. Dowieść, że 1) $ MN $ równa się średniej harmonicznej podstaw, 2) jeżeli $ \measuredangle ADC = \measuredangle ACB $, to $ AC $ równa się średniej geometrycznej podstaw.

IV OM - I - Zadanie 2

Dowieść, że wysokości $ h_1 $, $ h_2 $, $ h_3 $ trójkąta i promienie $ r_1 $, $ r_2 $, $ r_3 $ kół dopisanych spełniają równość

\[<br /> \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} =<br /> \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}.<br /> \]

IV OM - I - Zadanie 1

Dowieść, że stosunek sumy środkowych każdego trójkąta do jego obwodu zawiera się w przedziale $ \left( \frac{3}{4}, 1 \right) $ i że tej własności nie ma żaden przedział węższy.

Subskrybuje zawartość