Liczby całkowite

XIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli wielomian $F(x)$ o współczynnikach całkowitych ma pierwiastek $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ i $q$ są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, to $p - q$ jest dzielnikiem liczby $F(1)$ , a $p + q$ jest dzielnikiem liczby $F(-1)$ .

XIX OM - I - Zadanie 2

Niech $p(n)$ oznacza liczbę liczb pierwszych nie większych od liczby naturalnej $n$ . Dowieść, że jeżeli $n \geq 8$ , to $p(n) < \frac{n}{2}$

XX OM - II - Zadanie 2

Znaleźć wszystkie liczby czterocyfrowe, w których cyfra tysięcy jest równa cyfrze setek, a cyfra dziesiątek - cyfrze jedności i które są kwadratami liczb całkowitych.

XX OM - I -Zadanie 2

Rozwiązać w liczbach całkowitych równanie

$ (1) \qquad x + y = (x-y)^2. $

XXI OM - III -Zadanie 3

Udowodnić, że $n > 1$ jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego naturalnego $k$ , takiego że $1 \leq k \leq n - 1$ , współczynnik dwumianowy

$ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

dzieli się przez $n$ .

XXI OM - II -Zadanie 3

Udowodnić twierdzenie: Nie istnieje taka liczba naturalna $n > 1$ , że liczba $2^n - 1$ dzieli się przez $n$ .

XXI OM - I -Zadanie 9

Udowodnić, że dla każdej liczby nieparzystej $n > 1$ istnieje taka liczba naturalna $d < n$ , że liczba $2^d - 1$ jest podzielna przez $n$ .

XXII OM - III - Zadanie 5

Znaleźć największą liczbą całkowitą $A$ taką, że dla każdej permutacji zbioru liczb naturalnych nie większych od 100 suma pewnych 10 kolejnych wyrazów jest co najmniej równa $A$ .