Liczby rzeczywiste

XXXIV OM - I - Zadanie 5

Udowodnić istnienie liczby $ C_0 $ o tej własności, że dla każdego ciągu $ x_1, x_2, \ldots, x_N $ liczb dodatnich i dla dowolnej liczby dodatniej $ K $, jeżeli liczba wyrazów $ x_j $ nie mniejszych od $ K $ jest nie większa od $ \frac{N}{K} $, to

\[<br /> \frac{1}{N} \sum_{j=1}^N \log x_j \leq C_0.<br /> \]

XXXIV OM - I - Zadanie 3

Liczby $ x_1, x_2 $ są pierwiastkami równania $ x^2+ax+b = 0 $, o współczynnikach całkowitych, przy czym $ |x_1| < 1 $. Dowieść, że $ \lim_{n\to \infty} \{x_2^n\} = 0 $, gdzie $ \{t\} $ jest taką liczbą z przedziału $ \langle -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\rangle $, że $ t+ \{t\} $ jest liczbą całkowitą.

XXXV OM - I - Zadanie 2

Wyznaczyć wszystkie wartości parametru $ a $, dla których układ równań

\[<br /> \begin{split}<br /> x + y + z &= 2,\\<br /> xy + yz +zx &= 1,\\<br /> xyz &= a.<br /> \end{split}<br /> \]

ma rozwiązania w liczbach rzeczywistych.

XXXVI OM - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli dla liczb naturalnych $ a, b $ liczba $ \sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} $ jest wymierna, to $ a, b $ są sześcianami liczb naturalnych.

Subskrybuje zawartość