Olimpiady Matematyczne

Matematyka jest drzwiami i kluczem do nauki.

Roger Bacon

Nierówności

XXVI - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdego naturalnego $n$

$ \sum_{j=0}^{n-1} \left| \cos \frac{j\pi}{n}\right| \geq \frac{n}{2}. $

XXIX OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $0 < x \leq \frac{1}{2}$ , $0 < y \leq \frac{1}{2}$

$ \frac{(x+y)^2}{xy} \geq \frac{(2-x-y)^2}{(1-x)(1-y)} $

XXX OM - II - Zadanie 2

Udowodnić, że jeżeli $a, b, c$ są liczbami nieujemnymi, to

$ a^3 + b^3 + c^3 + 3abc \geq a^2(b + c) + b^2(a + c) + c^2(a + b). $

XXXI - II - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, x_3, \ldots, x_n$ prawdziwa jest nierówność

$ x_1x_2x_3\ldots x_n \leq \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^4}{4} + \frac{x_3^8}{8} + \ldots + \frac{x_n^{2^n}}{2^n} + \frac{1}{2^n} $

XXXI - I - Zadanie 2

Dowieść, że dla dowolnych liczb dodatnich $a, b, x, y, \alpha$ prawdziwa jest nierówność

$ \frac{a^{\alpha+1}}{x^{\alpha}} + \frac{b^{\alpha+1}}{y^{\alpha}} \leq \frac{(a+b)^{\alpha+1}}{(x+y)^{\alpha}} $

XXXII - III - Zadanie 3

Dowieść, że dla dowolnej liczby naturalnej $n$ oraz liczb rzeczywistych $\alpha$ , $x$ spełniających nierówności $\alpha^{n-1} \leq x \leq 1$ , $0 < \alpha <1$ zachodzi nierówność

$ \prod_{k=1}^n \left| \frac{x-\alpha^k}{x+\alpha^k} \right|\leq \prod_{k=1}^n \frac{1-\alpha^{k}}{1+\alpha^{k}} $

XXXII - II - Zadanie 1

Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_{1981}$ , $y_1, y_2, \ldots, y_{1981}$ takich, że $\sum_{j=1}^{1981} x_j = 0$ , $\sum_{j=1}^{1981} y_j = 0$ zachodzi nierówność