Planimetria

VIII OM - III - Zadanie 5

Dana jest prosta $m$ i odcinek $AB$ do niej równoległy. Podzielić odcinek $AB$ na trzy równe części przy użyciu samej linijki, tzn. rysując tylko proste.

VIII OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że między bokami $a$ , $b$ , $c$ i kątami przeciwległymi $A$ , $B$ , $C$ trójkąta zachodzi związek

$<br /> (1) \qquad a^2 \cos^2 A = b^2 \cos^2 B + c^2 \cos^2 C + 2bc \cos B \cos C \cos 2A.<br />$

Przez środek $S$ odcinka $MN$ o końcach leżących na ramionach trójkąta równoramiennego poprowadzono prostą równoległą do podstawy trójkąta przecinającą jego ramiona w punktach $K$ i $L$ . Dowieść, że rzut prostokątny odcinka $MN$ na podstawę trójkąta jest równy odcinkowi $KL$ .

VIII OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli czworokąt wypukły ma tę własność, że istnieje okrąg styczny do jego boków (tzn. okrąg wpisany), a także okrąg styczny do przedłużeń jego boków (okrąg dopisany), to przekątne czworokąta są do siebie prostopadłe.

VIII OM - II - Zadanie 5

Dany jest odcinek $AB$ i prosta $m$ równoległa do tego odcinka. Znaleźć środek odcinka $AB$ używając samej linijki, tzn. rysując tylko linie proste.

VIII OM - II - Zadanie 2

Dowieść, że jeżeli $M$ , $N$ , $P$ są spodkami wysokości trójkąta ostrokątnego $ABC$ , to stosunek obwodu trójkąta $MNP$ do obwodu trójkąta $ABC$ jest równy stosunkowi promienia kola wpisanego w trójkąt $ABC$ do promienia koła opisanego na trójkącie $ABC$ .

VIII OM - I - Zadanie 12

Udowodnić, że:

1) $n$ prostych leżących na płaszczyźnie, z których każde dwie przecinają się, ale żadne trzy nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli płaszczyznę na $\frac{1}{2} (n^2 + n + 2)$ części;

2) $n$ płaszczyzn, z których każde trzy mają jeden i tylko jeden punkt wspólny, ale żadne cztery nie przechodzą przez jeden punkt, dzieli przestrzeń na $\frac{1}{6} (n^3 + 5n + 6)$ części.

VIII OM - I - Zadanie 11

Przez wierzchołki $A$ , $B$ , $C$ trójkąta ostrokątnego oraz przez środek $O$ okręgu opisanego na tym trójkącie poprowadzono proste $AO$ , $BO$ , $CO$ , które przecinają przeciwległe boki trójkąta odpowiednio w punktach $M$ , $N$ , $P$ . Dowieść, że

$<br /> \frac{1}{AM} + \frac{1}{BN} + \frac{1}{CP} = \frac{2}{R},<br />$

gdzie $R$ oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ .

VIII OM - I - Zadanie 10

Dowieść, że ze wszystkich czworokątów wpisanych w dane koło kwadrat ma największe pole.

VIII OM - I - Zadanie 7

Zbudować trójkąt $ABC$ mając dane: bok $AB = c$ , promień koła opisanego $R$ oraz kąt $\delta$ zawarty między dwusieczną kąta $C$ i wysokością poprowadzoną z wierzchołka $C$ .

Olimpiady Matematyczne