Stereometria

XIX OM - I - Zadanie 12

Dany jest czworościan $ A_1A_2A_3A_4 $. Udowodnić, że jeżeli punkty $ P_1, P_2, P_3, P_4 $ są rzutami prostokątnymi pewnego punktu $ P $ przestrzeni odpowiednio na proste $ A_1A_2, A_2A_3, A_3A_4, A_4A_1 $, to suma

\[<br /> A_1P_1^2 + A_2P_2^2 + A_3P_3^2 + A_4P_4^2<br /> \]

jest najmniejsza wtedy, gdy punkt $ P $ jest środkiem kuli opisanej na czworościanie A$ A_1A_2A_3A_4 $.

XIX OM - I - Zadanie 8

Dany jest czworościan $ ABCD $, w którym $ AB = BC = CD = DA = 1 $. Dowieść, że objętość $ V $ czworościanu $ ABCD $ spełnia nierówność

\[<br /> V\leq \frac{2}{27} \sqrt{3}.<br /> \]

XX OM - III - Zadanie 5

Dla jakich wartości $ n $ istnieje wielościan mający $ n $ krawędzi?

XX OM - II - Zadanie 6

Dowieść, że każdy wielościan ma co najmniej dwie ściany o tej samej liczbie boków.

XX OM - II - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli przy rzutowaniu równoległym jednej płaszczyzny na drugą płaszczyznę obrazem pewnego kwadratu jest kwadrat, to obrazem każdej figury jest figura do niej przystająca.

XX OM - I -Zadanie 12

Dowieść, że jeżeli figura ma w przestrzeni $ n $ osi symetrii, to liczba $ n $ jest nieparzysta.

XX OM - I -Zadanie 7

Kwadrat $ ABCD $ obrócono dokoła jego środka $ S $ o kąt ostry $ \alpha $, a następnie kwadrat obrócony przesunięto do położenia $ EFGH $ o wektor długości boku kwadratu prostopadły do płaszczyzny kwadratu. Obliczyć objętość bryły ograniczonej kwadratami $ ABCD $ i $ EFGH $ oraz trójkątami $ ABE $, $ BCF $, $ CDG $, $ DAH $, $ EFB $, $ FGC $, $ GHD $, $ HEA $.

XX OM - I -Zadanie 4

Dane są punkty $ A, B, C, D $ nie lezące na jednej płaszczyźnie. Wyznaczyć płaszczyznę, której odległości od tych punktów są równe.

XXI OM - I -Zadanie 12

Znaleźć najmniejszą liczbę dodatnią $ r $ o tej własności, że w czworościanie foremnym o krawędzi długości 1 istnieją takie cztery punkty, że odległość dowolnego punktu czworościanu od któregoś z nich jest $ \leq r $.

XXII OM - III - Zadanie 6

Dany jest czworościan foremny o krawędzi długości 1. Udowodnić, że:
1) Na powierzchni $ S $ czworościanu istnieją takie cztery punkty, że odległość każdego punktu powierzchni $ S $ od jednego z tych czterech punktów nie przekracza $ \frac{1}{2} $.
2) Na powierzchni $ S $ nie istnieją trzy punkty o podobnej własności.
Przez odległość punktów należących do $ S $ rozumiemy kres dolny długości łamanych zawartych w $ S $ łączących te punkty.

Subskrybuje zawartość