Wielomiany

XXX OM - I - Zadanie 5

Znaleźć taką liczbą rzeczywistą $m$ , dla której iloczyn pewnych dwóch pierwiastków rzeczywistych równania

$ 2x^4 - 7x^3 + mx^2 + 22x - 8 = 0 $

wynosi 2.

XXXI - II - Zadanie 4

Udowodnić, że jeżeli $a$ i $b$ są liczbami rzeczywistymi oraz wielomian $ax^3 - ax^2 + 9bx - b$ ma trzy pierwiastki dodatnie, to są one równe.

XXXI - I - Zadanie 4

Udowodnić, że jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych przyjmuje wartość 1 dla czterech różnych argumentów całkowitych, to dla żadnego argumentu całkowitego nie przyjmuje wartości -1.

XXXIII OM - II - Zadanie 1

Dowieść, że jeżeli $c, d$ są liczbami całkowitymi, przy czym $c \neq d$ , $d > 0$ to równanie

$ x^3 - 3cx^2 - dx + c = 0 $

ma nie więcej niż jeden pierwiastek wymierny.

Liczby rzeczywiste $u, v, w$ są pierwiastkami równania $x^3 + qx + r = 0$ , gdzie $r \neq 0$ . Wyrazić pierwiastki równania $r^2x^3 + q^3x + q^3 = 0$ w zależności od $u, v, w$ i wykazać, że nie ma ono pierwiastków w przedziale $(-1, 3)$ .

XXXIV OM - I - Zadanie 6

Wykazać, że dla dowolnego wielomianu $P$ wielomian $P\circ P \circ P \circ \ldots \circ P(x)-x$ dzieli się przez $P(x)-x$ .

XXXVII OM - III - Zadanie 4

Wyznaczyć te liczby całkowite nieujemne $n$ , dla których istnieje taki wielomian $f$ stopnia $n$ o współczynnikach rzeczywistych, że $f(x) > f'(x)$ dla każdego rzeczywistego $x$ .

XXXVII OM - I - Zadanie 3

Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej $k$ wielomian

$ (x^4-1)(x^3-x^2+x-1)^k + (x+1)x^{4k-1} $

dzieli się przez $x^5+1$ .

XXXVIII OM - III - Zadanie 3

Dany jest wielomian $W$ o współczynnikach całkowitych nieujemnych. Określamy ciąg liczb $(p_n)$ , gdzie $p_n$ jest sumą cyfr liczby $W(n)$ . Dowieść, że pewna liczba występuje w ciągu $(p_n)$ nieskończenie wiele razy.

XXXVIII OM - II - Zadanie 4

Wyznaczyć wszystkie pary liczb rzeczywistych $a, b$ , dla których wielomiany $x^4 + 2ax^2 + 4bx + a^2$ i $x^3 + ax - b$ mają dwa różne wspólne pierwiastki rzeczywiste.

Olimpiady Matematyczne