2000-2009

LIV OM - III - Zadanie 5

Sfera wpisana w czworościan $ABCD$ jest styczna do ściany $ABC$ w punkcie $H$ . Druga sfera jest styczna do ściany $ABC$ w punkcie $O$ oraz jest styczna do płaszczyzn zawierających pozostałe ściany tego czworościanu w punktach, które do czworościanu nie należą. Dowieść, że jeżeli $O$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $ABC$ , to $H$ jest punktem przecięcia wysokości tego trójkąta.

LIV OM - III - Zadanie 4

Dana jest liczba pierwsza p oraz takie liczby całkowite $x$ , $y$ , $z$ , że

$ 0 <x <y < z <p. $

Wykazać, że jeśli liczby $x^3$ , $y^3$ , $z^3$ dają takie same reszty przy dzieleniu przez $p$ , to liczba $x^2 + y^2 + z^2$ jest podzielna przez $x + y + z$ .

LIV OM - III - Zadanie 3

Wyznaczyć wszystkie wielomiany $W$ o współczynnikach całkowitych, spełniające następujący warunek: dla każdej liczby naturalnej $n$ liczba $2^n-1$ jest podzielna przez $W(n)$ .

LIV OM - III - Zadanie 2

Liczba $a$ jest dodatnia i mniejsza od 1. Dowieść, że dla każdego skończonego, ściśle rosnącego ciągu nieujemnych liczb całkowitych ( $k_1,\ldots,k_n$ ) zachodzi nierówność

$ \left( \sum_{i=1}^n a^{k_i} \right)^2 < \frac{1+a}{1-a} \sum_{i=1}^n a^{2k_i}. $

LIV OM - III - Zadanie 1

W trójkącie ostrokątnym $ABC$ odcinek $CD$ jest wysokością. Przez środek $M$ boku $AB$ poprowadzono taką prostą przecinającą półproste $CA$ i $CB$ odpowiednio w punktach $K$ i $L$ , że $CK = CL$ . Punkt $S$ jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie $CKL$ . Wykazać, że $SD = SM$ .

LIV OM - II - Zadanie 6

Każdej parze liczb całkowitych nieujemnych $(x,y)$ jest przyporządkowana liczba $f (x,y)$ zgodnie z warunkami:

$ \begin{array}{rcl} f (0,0) &=& 0;\\ f (2x, 2y) &=& f (2x +1,2y + 1) = f (x, y),\\ f(2x +1,2y) &=& f(2x, 2y +1)= f(x,y) + 1\ \textrm{dla}\ x,y \geq 0. \end{array} $

Niech $n$ będzie ustaloną liczbą całkowitą nieujemną i niech $a$ , $b$ będą takimi liczbami całkowitymi nieujemnymi, że $f (a,b) = n$ . Rozstrzygnąć, ile jest liczb $x$ spełniających równanie

$ f (a,x) + f (b,x) = n. $

LIV OM - II - Zadanie 5

Punkt $A$ leży na zewnątrz okręgu $o$ o środku $O$ . Z punktu $A$ poprowadzono dwie proste styczne do okręgu $o$ odpowiednio w punktach $B$ i $C$ . Pewna styczna do okręgu $o$ przecina odcinki $AB$ i $AC$ odpowiednio w punktach $E$ i $F$ . Proste $OE$ i $OF$ przecinają odcinek $BC$ odpowiednio w punktach $P$ i $Q$ . Udowodnić, że z odcinków $BP$ , $PQ$ i $QC$ można zbudować trójkąt podobny do trójkąta $AEF$ .

LIV OM - II - Zadanie 4

Wykazać, że dla każdej liczby pierwszej $p > 3$ istnieją liczby całkowite $x$ , $y$ , $k$ spełniające warunki: $0 < 2k <p$ oraz

$ kp + 3 = x^2 + y^2 . $

LIV OM - II - Zadanie 3

Dany jest wielomian $W(x) = x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 9x$ . Wyznaczyć wszystkie pary różnych liczb całkowitych $a$ , $b$ spełniających równanie

$ W (a) = W (b). $

LIV OM - II - Zadanie 2

Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg $o$ . Dwusieczne kątów $DAB$ i $ABC$ przecinają się w punkcie $P$ , a dwusieczne kątów $BCD$ i $CDA$ przecinają się w punkcie $Q$ . Punkt $M$ jest środkiem tego łuku $BC$ okręgu $o$ , który nie zawiera punktów $D$ i $A$ . Punkt $N$ jest środkiem tego łuku $DA$ okręgu $o$ , który nie zawiera punktów $B$ i $C$ . Dowieść, że punkty $P$ i $Q$ leżą na prostej prostopadłej do $MN$ .