Olimpiada Matematyczna

XXVIII - I - Zadanie 8

Dowieść, że zbiór $\{1, 2, \ldots, 2^{s+1}\}$ można tak rozbić na dwa zbiory $2s$ -elementowe $\{x_1, x_2, \ldots, x_{2^s}\}$ , $\{y_1, y_2, \ldots, y_{2^s}\}$ , że dla każdego naturalnego $j \leq s$ zachodzi równość

$ \sum_{i=1}^{2^s} x_i^j = \sum_{i=1}^{2^s} y_i^j. $

XXVIII - I - Zadanie 7

Trzy koła o promieniach równych 1 przecinają się tak, że ich część wspólna jest ograniczona trzema łukami, z których każdy należy do innego koła. Końce tych łuków oznaczmy przez $K, L, M$ . Pierwszy okrąg przecina drugi w punktach $C$ i $M$ , drugi przecina trzeci w punktach $A$ i $K$ , a trzeci przecina pierwszy w punktach $B$ i $L$ .
Udowodnić, że suma długości łuków $AM, BK, CL$ równa się $\pi$ .

XXVIII - I - Zadanie 6

Obliczyć

$ \lim_{n\to \infty} \frac{2^3-1}{2^3+1} \cdot \frac{3^3-1}{3^3+1} \cdot \ldots \cdot \frac{n^3-1}{n^3+1}. $

XXVIII - I - Zadanie 5

Dowieść, że jeżeli $P(x, y)$ jest takim wielomianem dwóch zmiennych, że $P(x, y) = P(y, x)$ dla wszystkich $x, y$ rzeczywistych oraz wielomian $(x-y)$ dzieli $P(x, y)$ , to wielomian $(x - y)^2$ także dzieli $P(x, y)$ .

XXVIII - I - Zadanie 4

Wewnątrz czworościanu $ABCD$ obrano punkt $M$ , przy czym okazało się, że dla każdego z czworościanów $ABCM$ $ABDM$ , $ACDM$ , $BCDM$ istnieje sfera styczna do wszystkich jego krawędzi. Udowodnić, że istnieje sfera styczna do wszystkich krawędzi czworościanu $ABCD$ .

XXVIII - I - Zadanie 3

Niech $a$ i $b$ będą liczbami naturalnymi. Prostokąt o bokach długości $a$ i $b$ podzielono prostymi równoległymi do boków na kwadraty jednostkowe. Przez wnętrza ilu kwadratów przechodzi przekątna prostokąta ?

XXVIII - I - Zadanie 2

Dane są trzy różne liczby całkowite $a, b, c$ . Udowodnić, że nie istnieje wielomian $w(x)$ o współczynnikach całkowitych taki, że

$ w(a) = b, \quad w(b) = c, \quad w(c) = a. $

XXVIII - I - Zadanie 1

Znaleźć wszystkie rozwiązania układu równań

$ \begin{split} 2(x + y - 2) &= y(x - y + 2), \\ x^2(y - 1) + y^2(x - 1) &= xy - 1. \end{split} $

XXIX OM - III - Zadanie 6

Dowieść, że jeżeli w dowolnym czworościanie $h_1, h_2, h_3, h_4$ są długościami czterech wysokości, $d_1, d_2, d_3$ zaś odległościami trzech par prostych zawierających przeciwległe krawędzie, to