Olimpiada Matematyczna, Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna, Austriacko-Polskie Zawody Matematyczne, Zawody Matematyczne Państw Bałtyckich, Czesko-Polsko-Słowackie Zawody Matematyczne, Środkowo-Europejska Olimpiada Matematyczna

XXIX OM - I - Zadanie 7

Dla ustalonej liczby nąturalnej $n>2$ określamy: $x_1 = n$ , $y_1=1$ , $x_{i+1} = \left[\frac{1}{2}(x_i+y_i)\right]$ , $y_{i+1} = \left[ \frac{n}{x_{i+1}}\right]$ Dowieść że najmniejsza z liczb $x_1 x_2, \ldots, x_n$ jest równa [\sqrt{n}].
Uwaga. $[a]$ oznacza największą liczbę całkowitą nie większą od $a$ .

XXIX OM - I - Zadanie 6

Dowieść, że na płaszczyźnie dowolna łamana zamknięta o długości 1 zawiera się w pewnym kole o promieniu długości $\frac{1}{4}$

XXIX OM - I - Zadanie 5

Dla jakich liczb naturalnych $n$ istnieją niezerowe wielomiany
$f(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ , $g(x_1,x_2, \ldots ,x_n)$ o współczynnikach całkowitych spełniające równość

$ \left(\sum_{i=1}{n} x_i\right)\cdot f(x_1,x_2, \ldots ,x_n) = g(x_1^2,x_2^2, \ldots ,x_n^2) ? $

XXIX OM - I - Zadanie 4

Niech $Y$ będzie figurą składającą się z odcinków domkniętych $\overline{OA}$ , $\overline{OB}$ , $\overline{OC}$ , przy czym punkt O leży wewnątrz trójkąta $ABC$ . Dowieść, że w żadnym kwadracie nie można umieścić nieskończenie wielu wzajemnie rozłącznych izometrycznych obrazów figury $Y$ .

XXIX OM - I - Zadanie 3

Niech $a, b, c, d$ będą długościami boków dowolnego czworokąta. Dowieść, że istnieje trapez, którego boki mają długości $a, b, c, d$ .

XXIX OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby naturalnej $k>7$ skonstruować ciąg $S = (a_0, a_1, \ldots, a_{k-1})$ o tej własności, że dla każdego $i$ ( $0 < i < k - 1$ ) $a_i$ równe liczbie wyrazów ciągu $S$ równych $i$ .

XXIX OM - I - Zadanie 1

Ciąg liczb $(p_n)$ określony jest następująco: $p_1 = 2$ , $p_n$ jest największym dzielnikiem pierwszym sumy $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$ . Dowieść, że w ciągu $(p_n)$ nie wystąpi liczba 5.

XXX OM - III - Zadanie 6

Wielomian $w$ stopnia $n$ ( $n>1$ ) ma $n$ różnych pierwiastków Wnczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ . Udowodnić, że

$ \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0. $

XXX OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

XXX OM - III - Zadanie 4

Dane są liczby rzeczywiste $A > 1$ i $B > 1$ oraz ciąg $(x_n)$ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $(y_n)$ liczb z przedziału $[1, A]$ , że