Olimpiada Matematyczna

XXIX OM - I - Zadanie 2

Dla danej liczby naturalnej $k>7$ skonstruować ciąg $S = (a_0, a_1, \ldots, a_{k-1})$ o tej własności, że dla każdego $i$ ( $0 < i < k - 1$ ) $a_i$ równe liczbie wyrazów ciągu $S$ równych $i$ .

XXIX OM - I - Zadanie 1

Ciąg liczb $(p_n)$ określony jest następująco: $p_1 = 2$ , $p_n$ jest największym dzielnikiem pierwszym sumy $p_1p_2\ldots p_{n-1} + 1$ . Dowieść, że w ciągu $(p_n)$ nie wystąpi liczba 5.

XXX OM - III - Zadanie 6

Wielomian $w$ stopnia $n$ ( $n>1$ ) ma $n$ różnych pierwiastków Wnczywistych $x_1, x_2, \ldots, x_n$ . Udowodnić, że

$ \frac{1}{w'(x_1)} + \frac{1}{w'(x_2)} + \ldots + \frac{1}{w'(x_n)} = 0. $

XXX OM - III - Zadanie 5

Dowieść, że iloczyn długości boków czworokąta wypukłego wpisanego w koło o promieniu długości 1 jest nie większy od 4.

XXX OM - III - Zadanie 4

Dane są liczby rzeczywiste $A > 1$ i $B > 1$ oraz ciąg $(x_n)$ liczb rzeczywistych z przedziału [1, A\cdot B] Dowieść, że istnieje taki ciąg $(y_n)$ liczb z przedziału $[1, A]$ , że

$ \frac{x_m}{x_n} \leq B \cdot \frac{y_m}{y_n} \quad \text{ dla }\quad m,n = 1,2,\ldots . $

Doświadczenie polega na wykonaniu $n$ niezależnych prób. Prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku w $i$ -tej próbie wynosi $p_i$ . Niech $r_k$ będzie prawdopodobieństwem tego, że dokładnie $k$ prób da wynik pozytywny. Udowodnić, że

$ \sum_{i=1}^n p_i = \sum_{k=0}^n kr_k. $

XXX OM - III - Zadanie 2

Dowieść, że cztery proste łączące wierzchołki czworościanu ze środkami kół wpisanych w ściany przeciwległe tym wierzchołkom mają punkt wspólny wtedy i tylko wtedy, gdy trzy iloczyny długości przeciwległych krawędzi czworościanu są równe.

XXX OM - III - Zadanie 1

Dany jest zbiór $\{r_1, r_2, \ldots, r_k\}$ liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez liczbę naturalną $m$ dają różne reszty. Udowodnić, że jeżeli $k > \frac{m}{2}$ , to dla każdej liczby całkowitej $n$ istnieją takie $i$ oraz $j$ ( $n$ niekoniecznie różne), że liczba $r_i + r_j - n$ jest podzielna przez $m$ .

XXX OM - II - Zadanie 6

Na boku $\overline{DC}$ prostokąta $ABCD$ , w którym $\frac{AB}{AD} = \sqrt{2}$ zbudowano zewnętrznie półokrąg. Dowolny punkt $M$ półokręgu połączono odcinkami z $A$ i $B$ otrzymując na $\oveline{DC}$ odpowiednio punkty $K$ i $L$ . Dowieść, że $DL^2 + KC^2 = AB^2$ .